Dê as equações paramétricas da reta que passa por e é perpendicular a reta nos casos:
a) e
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto x = -3 + lambda y = lambda z = 3lambda e que é perpendicular à reta , cuja representação paramétrica é:
Para resolver isso, precisamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas no espaço e condições de perpendicularidade entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a direção da reta u = 1 1 3 . As equações paramétricas de nos mostram como as coordenadas , e variam com o parâmetro . Podemos escrever a direção de como um vetor:
Isso porque os coeficientes de nas equações paramétricas correspondem às componentes do vetor diretor da reta.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a reta que passa pelo ponto PQ = (-3 + lambda) - 2 lambda - 6 3lambda - 1 = lambda - 5 lambda - 6 3lambda - 1 e é perpendicular a . Para isso, vamos determinar o vetor que liga o ponto a algum ponto qualquer na reta e que seja perpendicular ao vetor diretor de .
Vamos chamar o ponto genérico na reta de . O vetor é então:
Passo 4
Para que as retas sejam perpendiculares, o vetor u cdot PQ = 0 1 1 3 cdot lambda - 5 lambda - 6 3lambda - 1 = 0 1 cdot (lambda - 5) + 1 cdot (lambda - 6) + 3 cdot (3lambda - 1) = 0 lambda - 5 + lambda - 6 + 9lambda - 3 = 0 (1 + 1 + 9)lambda - (5 + 6 + 3) = 0 11lambda - 14 = 0 lambda = 1411 deve ser perpendicular ao vetor diretor de . Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. Então:
Passo 5
Agora que temos o valor de Q ( -3 + 1411, 1411, 3 cdot 1411 ) = ( -1911, 1411, 4211 ) , podemos encontrar as coordenadas do ponto na reta :
Passo 6
O vetor diretor da reta que desejamos encontrar será o vetor PQ = -1911 - 2 1411 - 6 4211 - 1 = -1911 - 2211 1411 - 6611 4211 - 1111 = -4111 -5211 3111 :
d = -4111 -5211 3111 = 111 -41 -52 31
Podemos simplificar esse vetor:
Para facilitar, podemos multiplicar todos os termos por 11 e considerar o vetor .
Passo 7
Agora, temos o ponto x = 2 - 41t y = 6 - 52t z = 1 + 31t e o vetor diretor . As equações paramétricas da reta perpendicular a e que passa por são:
onde é o parâmetro.
Resposta
As equações paramétricas da reta perpendicular a x = 2 - 41t y = 6 - 52t z = 1 + 31t e que passa por são: