Quais as equações simétricas da reta que passa pelo ponto e é paralela à reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de geometria analítica! A gente precisa encontrar as equações simétricas de uma reta que passa pelo ponto e é paralela à reta dada pela equação:
Para fazer isso, vamos usar o conceito de vetor diretor, que indica a direção da reta, e as equações paramétricas como base para chegar nas equações simétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta dada. Nas equações simétricas:
Os denominadores , e são os componentes do vetor diretor. Então, o vetor diretor é:
Como a reta que queremos encontrar é paralela a essa, ela vai ter o mesmo vetor diretor.
Passo 3
Agora, vamos usar o ponto x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct e o vetor diretor x = -2 + 1t y = 1 + 4t z = 0 - 1t para montar as equações paramétricas da nova reta. As equações paramétricas são da forma:
x = -2 + t y = 1 + 4t z = -t
Onde é o ponto por onde a reta passa e são os componentes do vetor diretor. Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 4
Agora, para transformar essas equações paramétricas em equações simétricas, a gente resolve cada equação para t = x + 2 t = y - 14 t = -z e iguala elas. Então:
x + 21 = y - 14 = z-1
Agora, igualando todas elas:
Resposta
As equações simétricas da reta que passa pelo ponto x + 21 = y - 14 = z-1 e é paralela à reta dada são: