Quais as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(-2,1,0) e é paralela à reta
r: x+11=y4=z-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de geometria analítica! A gente precisa encontrar as equações simétricas de uma reta que passa pelo ponto x+11 = y4 = z-1 e é paralela à reta dada pela equação:
Para fazer isso, vamos usar o conceito de vetor diretor, que indica a direção da reta, e as equações paramétricas como base para chegar nas equações simétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta dada. Nas equações simétricas:
x+11 = y4 = z-1
Os denominadores d = 1 4 -1 , e são os componentes do vetor diretor. Então, o vetor diretor é:
Como a reta que queremos encontrar é paralela a essa, ela vai ter o mesmo vetor diretor.

Passo 3

Agora, vamos usar o ponto x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct e o vetor diretor x = -2 + 1t y = 1 + 4t z = 0 - 1t para montar as equações paramétricas da nova reta. As equações paramétricas são da forma:
x = -2 + t y = 1 + 4t z = -t
Onde é o ponto por onde a reta passa e são os componentes do vetor diretor. Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 4

Agora, para transformar essas equações paramétricas em equações simétricas, a gente resolve cada equação para t = x + 2 t = y - 14 t = -z e iguala elas. Então:
x + 21 = y - 14 = z-1
Agora, igualando todas elas:

Resposta

As equações simétricas da reta que passa pelo ponto x + 21 = y - 14 = z-1 e é paralela à reta dada são:

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(b) Encontre uma base de cada autoespaço associado a um autovalor de T.
Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por
T(x, y, z)=(3 x-y+z, 7 x-5 y+z, 6 x-6 y+2 z)
© Determine as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor de T.