Considere o operador linear definido por . Determine:
A matriz onde .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear definido por . A gente precisa encontrar a matriz dessa transformação em relação à base . Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e matrizes de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de na base , a gente precisa aplicar em cada vetor da base e expressar o resultado como uma combinação linear dos vetores da base . Os vetores da base são:
Passo 3
Vamos aplicar no primeiro vetor da base, :
Agora, precisamos expressar esse resultado como uma combinação linear dos vetores da base :
Isso resulta nas equações:
Resolvendo, encontramos , , . Portanto:
Passo 4
Agora, vamos aplicar T(1, 0, 0) = (1 - 2 cdot 0, , 0, , -2 cdot 1 + 4 cdot 0) = (1, 0, -2) no segundo vetor da base, (1, 0, -2) = a cdot (0, 0, 1) + b cdot (1, 0, 0) + c cdot (0, 1, 0) :