Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por T(x, y, z)=(x-2 z, 0,-2 x+4 z). Determine:
A matriz [T]alpha^alpha onde alpha=(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear definido por . A gente precisa encontrar a matriz dessa transformação em relação à base . Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de alpha1 = (0, 0, 1), alpha2 = (1, 0, 0), alpha3 = (0, 1, 0) na base , a gente precisa aplicar em cada vetor da base e expressar o resultado como uma combinação linear dos vetores da base . Os vetores da base são:

Passo 3

Vamos aplicar T(0, 0, 1) = (0 - 2 cdot 1, , 0, , -2 cdot 0 + 4 cdot 1) = (-2, 0, 4) no primeiro vetor da base, (-2, 0, 4) = a cdot (0, 0, 1) + b cdot (1, 0, 0) + c cdot (0, 1, 0) :
0b + 0c + 0a = -2 0b + 0c + 0a = 0 1a + 0c + 0b = 4
Agora, precisamos expressar esse resultado como uma combinação linear dos vetores da base T(alpha1) = 4alpha1 - 2alpha2 + 0alpha3 :
Isso resulta nas equações:
Resolvendo, encontramos , , . Portanto:

Passo 4

Agora, vamos aplicar T(1, 0, 0) = (1 - 2 cdot 0, , 0, , -2 cdot 1 + 4 cdot 0) = (1, 0, -2) no segundo vetor da base, (1, 0, -2) = a cdot (0, 0, 1) + b cdot (1, 0, 0) + c cdot (0, 1, 0) :
1b + 0c + 0a = 1 0b + 0c + 0a = 0 1a + 0c + 0b = -2
Expressando como combinação linear dos vetores da base T(alpha2) = -2alpha1 + 1alpha2 + 0alpha3 :
Isso leva às equações:
Resolvendo, temos , , . Então:

Passo 5

Por último, vamos aplicar T(0, 1, 0) = (0 - 2 cdot 0, , 0, , -2 cdot 0 + 4 cdot 0) = (0, 0, 0) no terceiro vetor da base, (0, 0, 0) = a cdot (0, 0, 1) + b cdot (1, 0, 0) + c cdot (0, 1, 0) :
T(alpha3) = 0alpha1 + 0alpha2 + 0alpha3
Expressando como combinação linear dos vetores da base :
Isso resulta em , , . Logo:

Resposta

A matriz [T]alpha^alpha = 4 & -2 & 0 -2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 na base é:

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