Escreva a cônica dada na forma padrāo, identifique e esboce-a. Inclua no esboço informações relevantes como centro, vértices, focos e reta diretriz no caso da parábola.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para escrever a equação da cônica dada na forma padrão, identificar que tipo de cônica é, e fazer um esboço dela. Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre as formas padrão das cônicas (como elipse, hipérbole e parábola) e saber identificar seus elementos principais, como centro, vértices e focos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada na forma padrão. A equação é:
Vamos organizar os termos:
Agora, dividimos todos os termos por -16 para que o lado direito seja 1:
Simplificando os sinais:
Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Agora, vamos identificar que tipo de cônica é essa. A forma padrão que temos é:
Isso corresponde a uma hipérbole que se abre para cima e para baixo. Então, sabemos que a cônica dada é uma hipérbole.
Passo 4
Vamos identificar os elementos da hipérbole:
- Centro: A hipérbole está centrada na origem, ou seja, no ponto (0, 0).
- a² é o denominador do termo positivo, que é 4. Então,
. - b² é o denominador do termo negativo, que é 16. Então,
. - vértices: Para uma hipérbole que se abre para cima e para baixo, os vértices estão a uma distância ‘a’ do centro ao longo do eixo y. Então, os vértices estão em (0, 2) e (0, -2).
- focos: Os focos estão a uma distância ‘c’ do centro, onde
. Então, os focos estão em (0, ) e (0, ). - Assíntotas: As assíntotas são as linhas que a hipérbole se aproxima mas nunca toca. A equação das assíntotas para essa hipérbole é
.
Resposta
A hipérbole na forma padrão é:
Centro: (0, 0)
Vértices: (0, 2) e (0, -2)
Focos: (0,
Assíntotas:
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Dados
e
, calcular
Considere o operador linear
definido por
. Determine:
A matriz onde
.
A matriz
Considere o operador linear
definido por
. Determine:
Os autovalores de .
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Mostrar que os pontos
e
são vértices de um paralelepípedo, e determinar qual seu volume.
R: 0 , não é um paralelepipedo
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