Escreva a cônica dada na forma padrāo, identifique e esboce-a. Inclua no esboço informações relevantes como centro, vértices, focos e reta diretriz no caso da parábola.
-4 y^2+x^2=-16

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para escrever a equação da cônica dada na forma padrão, identificar que tipo de cônica é, e fazer um esboço dela. Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre as formas padrão das cônicas (como elipse, hipérbole e parábola) e saber identificar seus elementos principais, como centro, vértices e focos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada na forma padrão. A equação é:
-4y^2 + x^2 = -16
Vamos organizar os termos:
x^2 - 4y^2 = -16
Agora, dividimos todos os termos por -16 para que o lado direito seja 1:
x^2-16 + y^24 = 1
Simplificando os sinais:
-x^216 + y^24 = 1
Podemos reescrever isso como:
y^24 - x^216 = 1

Passo 3

Agora, vamos identificar que tipo de cônica é essa. A forma padrão que temos é:
y^2a^2 - x^2b^2 = 1
Isso corresponde a uma hipérbole que se abre para cima e para baixo. Então, sabemos que a cônica dada é uma hipérbole.

Passo 4

Vamos identificar os elementos da hipérbole:
  • Centro: A hipérbole está centrada na origem, ou seja, no ponto (0, 0).
  • é o denominador do termo positivo, que é 4. Então, .
  • é o denominador do termo negativo, que é 16. Então, .
  • vértices: Para uma hipérbole que se abre para cima e para baixo, os vértices estão a uma distância ‘a’ do centro ao longo do eixo y. Então, os vértices estão em (0, 2) e (0, -2).
  • focos: Os focos estão a uma distância ‘c’ do centro, onde . Então, os focos estão em (0, ) e (0, ).
  • Assíntotas: As assíntotas são as linhas que a hipérbole se aproxima mas nunca toca. A equação das assíntotas para essa hipérbole é .

Resposta

A hipérbole na forma padrão é:
y^24 - x^216 = 1
Centro: (0, 0)
Vértices: (0, 2) e (0, -2)
Focos: (0, ) e (0, )
Assíntotas: e

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