Considere o operador linear definido por . Determine o vetor tal que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente tem um operador linear definido por . A questão pede para encontrar um vetor tal que . Para isso, vamos precisar usar sistemas lineares e entender como resolver equações com várias incógnitas.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o vetor de . Então, temos:
Isso nos dá um sistema de três equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema. Vou escolher resolver pela eliminação. Vamos pegar a primeira e a terceira equação para eliminar (a + 2b - 3c) - (a + 2b + c) = 1 - (-1) -4c = 2 c = -12 .
Subtraindo a terceira equação da primeira:
Passo 4
Agora que encontramos a + 2b + (-12) = -1 a + 2b = -12 , vamos substituir esse valor na terceira equação para encontrar e .
Substituindo na terceira equação:
Passo 5
Vamos usar agora a primeira equação para substituir a = 1 - 2b + 3c a = 1 - 2b + 3(-12) a = 1 - 2b - 32 a = -12 - 2b em termos de :
Isso nos mostra que as variáveis e estão relacionadas de forma consistente, e precisamos encontrar os valores específicos usando a segunda equação do sistema original.
Passo 7
Vamos usar a segunda equação:
2a + 5b - 4c = 1
Substituindo 2(-12 - 2b) + 5b - 4(-12) = 1 -1 - 4b + 5b + 2 = 1 (-1 + 2) + b = 1 1 + b = 1 b = 0 e :
Passo 8
Agora que sabemos que a = -12 - 2(0) a = -12 , podemos encontrar usando :