Mostre que o conjunto beta=(1,0, alpha),(1,1, alpha),(1,1, alpha^2) subset R^3 é LI, desde que, alpha neq 0 e alpha neq 1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de três vetores no espaço tridimensional R^3:
beta = (1, 0, alpha), , (1, 1, alpha), , (1, 1, alpha^2)
A questão quer que a gente mostre que esse conjunto é linearmente independente (LI), mas isso só acontece se alpha neq 0 e alpha neq 1. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de independência linear e usar métodos de álgebra linear, como o cálculo de determinantes.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se quisermos encontrar números c1, c2, c3 tais que:
c1(1, 0, alpha) + c2(1, 1, alpha) + c3(1, 1, alpha^2) = (0, 0, 0)
A única solução possível é c1 = c2 = c3 = 0.

Passo 3

Para verificar a independência linear, podemos montar uma matriz com os vetores como colunas e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são LI. Vamos montar a matriz:
A = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 alpha & alpha & alpha^2

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante da matriz A. O determinante de uma matriz 3 times 3 é dado por:
det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
Aplicando isso na nossa matriz:
det(A) = 1(1 cdot alpha^2 - 1 cdot alpha) - 1(0 cdot alpha^2 - 1 cdot alpha) + 1(0 cdot alpha - 1 cdot alpha)
det(A) = 1(alpha^2 - alpha) - 1(0 - alpha) + 1(0 - alpha)
det(A) = alpha^2 - alpha + alpha - alpha
det(A) = alpha^2 - alpha

Passo 5

Para que os vetores sejam linearmente independentes, o determinante deve ser diferente de zero:
det(A) = alpha^2 - alpha neq 0
Podemos fatorar:
alpha(alpha - 1) neq 0
Isso significa que alpha neq 0 e alpha - 1 neq 0, ou seja, alpha neq 1.

Resposta

Portanto, o conjunto beta = (1, 0, alpha), , (1, 1, alpha), , (1, 1, alpha^2) é linearmente independente em R^3, desde que alpha neq 0 e alpha neq 1.

Exercícios relacionados

Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por T(x, y, z)=(x+2 y-3 z, 2 x+5 y-4 z, x+2 y+z). Determine o vetor u in R^3 tal que T(u)=(1,1,-1).
Ache o sistema de equações associado a cada uma das matrizes aumentadas e resolver o sistema:
© [cccc:c2 & 0 & -2 & 4 & 0 1 & 3 & 0 & -1 & 1 3 & 3 & -2 & 3 & 1 1 & -3 & -2 & 5 & 3] Resp.: O sistema não admite solução.
Considere T: R^3 R^3 a transformação linear definida por
T(x, y, z)=(y-z,-x+y+2 z, x+y)
Determine [T]B,[T]C e [T]B^C, onde B é a base canônica de R^3 e C é a base formada pelos vetores u1=(1,1,1), u2=(1,1,0) e u3=(1,0,0)
Determinar o valor de n para que o vetor v=(n, 25, 4) seja unitário.