Determine e , onde é a base canônica de e é a base formada pelos vetores , e
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo! Temos uma transformação linear definida por
e precisamos encontrar três matrizes:
: a matriz de na base canônica .
: a matriz de na base formada pelos vetores , e .
: a matriz de mudança de base de para .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transformação linear, matrizes de transformação em diferentes bases e mudança de base. Vamos passo a passo!
Passo 2
Vamos começar encontrando , a matriz de na base canônica. A base canônica de é formada pelos vetores , e .
Para encontrar , aplicamos a cada vetor da base canônica e colocamos os resultados como colunas na matriz.
Vamos aplicar a cada :
Agora, colocamos esses vetores como colunas na matriz:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a(1,1,1) + b(1,1,0) + c(1,0,0) = (0, 2, 2) , a matriz de a + b + c = 0 a + b = 2 a = 2 na base a = 2 2 + b = 2 Rightarrow b = 0 2 + 0 + c = 0 Rightarrow c = -2 . Para isso, precisamos entender como a + b + c = 1 a + b = 0 a = 2 atua nos vetores da base a = 2 2 + b = 0 Rightarrow b = -2 2 - 2 + c = 1 Rightarrow c = 1 .
Primeiro, lembremos que a matriz de a + b + c = 0 a + b = -1 a = 1 em uma base qualquer pode ser encontrada aplicando a = 1 1 + b = -1 Rightarrow b = -2 1 - 2 + c = 0 Rightarrow c = 1 a cada vetor da base e expressando o resultado como combinação linear dos vetores da base.
Agora, precisamos expressar cada como combinação linear dos vetores . Isso significa resolver sistemas de equações para encontrar os coeficientes.
Vamos fazer isso para cada :
Para :
Queremos encontrar tais que:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo:
Então, .
Para :
Queremos .
Sistema:
Resolvendo:
Então, .
Para :
Queremos .
Sistema:
Resolvendo:
Então, .
Agora, colocamos os coeficientes na matriz :
Passo 4
Por último, vamos determinar [T]B^C = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 , a matriz de mudança de base de para . Essa matriz transforma coordenadas de para .
Para encontrar essa matriz, precisamos das coordenadas dos vetores da base na base . Felizmente, é a base canônica, então as coordenadas dos vetores de na base são simplesmente eles mesmos:
Então, a matriz de mudança de base é formada colocando esses vetores como colunas: