Considere T: R^3 R^3 a transformação linear definida por
T(x, y, z)=(y-z,-x+y+2 z, x+y)
Determine [T]B,[T]C e [T]B^C, onde B é a base canônica de R^3 e C é a base formada pelos vetores u1=(1,1,1), u2=(1,1,0) e u3=(1,0,0)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo! Temos uma transformação linear T(x, y, z) = (y - z,, -x + y + 2z,, x + y) definida por
e precisamos encontrar três matrizes:
  1. : a matriz de na base canônica .
  2. : a matriz de na base formada pelos vetores , e .
  3. : a matriz de mudança de base de para .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transformação linear, matrizes de transformação em diferentes bases e mudança de base. Vamos passo a passo!

Passo 2

Vamos começar encontrando [T]B = 0 & 1 & -1 -1 & 1 & 2 1 & 1 & 0 , a matriz de na base canônica. A base canônica de é formada pelos vetores , e .
Para encontrar , aplicamos a cada vetor da base canônica e colocamos os resultados como colunas na matriz.
Vamos aplicar a cada :
Agora, colocamos esses vetores como colunas na matriz:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a(1,1,1) + b(1,1,0) + c(1,0,0) = (0, 2, 2) , a matriz de a + b + c = 0 a + b = 2 a = 2 na base a = 2 2 + b = 2 Rightarrow b = 0 2 + 0 + c = 0 Rightarrow c = -2 . Para isso, precisamos entender como a + b + c = 1 a + b = 0 a = 2 atua nos vetores da base a = 2 2 + b = 0 Rightarrow b = -2 2 - 2 + c = 1 Rightarrow c = 1 .
Primeiro, lembremos que a matriz de a + b + c = 0 a + b = -1 a = 1 em uma base qualquer pode ser encontrada aplicando a = 1 1 + b = -1 Rightarrow b = -2 1 - 2 + c = 0 Rightarrow c = 1 a cada vetor da base e expressando o resultado como combinação linear dos vetores da base.
Vamos aplicar [T]C = 2 & 2 & 1 0 & -2 & -2 -2 & 1 & 1 a cada :
Agora, precisamos expressar cada como combinação linear dos vetores . Isso significa resolver sistemas de equações para encontrar os coeficientes.
Vamos fazer isso para cada :
Para :
Queremos encontrar tais que:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo:
Então, .
Para :
Queremos .
Sistema:
Resolvendo:
Então, .
Para :
Queremos .
Sistema:
Resolvendo:
Então, .
Agora, colocamos os coeficientes na matriz :

Passo 4

Por último, vamos determinar [T]B^C = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 , a matriz de mudança de base de para . Essa matriz transforma coordenadas de para .
Para encontrar essa matriz, precisamos das coordenadas dos vetores da base na base . Felizmente, é a base canônica, então as coordenadas dos vetores de na base são simplesmente eles mesmos:
Então, a matriz de mudança de base é formada colocando esses vetores como colunas:

Resposta

As matrizes solicitadas são:
[T]B = 0 & 1 & -1 -1 & 1 & 2 1 & 1 & 0
[T]C = 2 & 2 & 1 0 & -2 & -2 -2 & 1 & 1
[T]B^C = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0

Exercícios relacionados

Mostre que o conjunto beta=(1,0, alpha),(1,1, alpha),(1,1, alpha^2) subset R^3 é LI, desde que, alpha neq 0 e alpha neq 1.
Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por T(x, y, z)=(x+2 y-3 z, 2 x+5 y-4 z, x+2 y+z). Determine o vetor u in R^3 tal que T(u)=(1,1,-1).
Determinar o valor de n para que o vetor v=(n, 25, 4) seja unitário.
Resolva os sistemas:
© lx+y+3 z=0 4 x+6 y+8 z=0 -2 x-y-8 z=0 3 x+4 y+7 z=0 Resp.: (-5 z, 2 z, z) ; z in R