Considere o operador linear do tal que , considerando como a base canônica de . Responda: (a) Mostre que é diagonalizável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um operador linear definido por . O nosso objetivo aqui é mostrar que esse operador é diagonalizável. Para isso, vamos precisar entender sobre matrizes de operadores lineares, autovalores e autovetores. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos representar o operador em forma de matriz na base canônica de . A base canônica é simplesmente os vetores , e .
Para encontrar a matriz de , aplicamos a cada vetor da base:
Então, a matriz de na base canônica é:
Passo 3
Agora, para verificar se det(A - lambda I) = 0 é diagonalizável, precisamos encontrar os autovalores da matriz A - lambda I = 3 - lambda & 0 & -4 0 & 3 - lambda & 5 0 & 0 & -1 - lambda . Os autovalores são os valores de det(A - lambda I) = (3 - lambda)[(3 - lambda)(-1 - lambda)] = 0 que satisfazem a equação característica:
(3 - lambda)^2 (-1 - lambda) = 0
Onde lambda1 = 3 (com mu é a matriz identidade de ordem 3. Vamos calcular:
O determinante dessa matriz é:
Resolvendo a equação:
Isso nos dá os autovalores:
Passo 4
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada 0 & 0 & -4 0 & 0 & 5 0 & 0 & -4 x y z = 0 0 0 .
As outras equações já são redundantes. Então, v3 = 1 -54 1 e são livres. Portanto, os autovetores podem ser escritos como:
O que significa que temos dois autovetores linearmente independentes para , por exemplo:
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso nos dá:
Tomando , obtemos o autovetor:
Passo 5
Agora, temos três autovetores linearmente independentes:
v1 = 1 0 0, v2 = 0 1 0, v3 = 1 -54 1
Como encontramos três autovetores distintos e eles são linearmente independentes, isso significa que a matriz (e, consequentemente, o operador ) é diagonalizável.
Resposta
O operador linear é diagonalizável, pois possui três autovetores linearmente independentes correspondentes aos seus autovalores.