Resolva os seguintes sistemas por eliminação Gauss-Jordan.
c x+2 y+z=3 2 x+5 y-z=-4 3 x-2 y-z=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações pelo método de eliminação de Gauss-Jordan. Esse método ajuda a simplificar as equações para encontrar os valores das incógnitas. Para isso, vamos usar operações básicas nas linhas da matriz aumentada do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema:
1 & 2 & 1 & | & 3 2 & 5 & -1 & | & -4 3 & -2 & -1 & | & 5

Passo 3

Nossa meta é zerar os elementos abaixo do primeiro elemento (1) na primeira coluna. Para isso:
  • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
    Linha2 = Linha2 - 2 * Linha1
    1 & 2 & 1 & | & 3 0 & 1 & -3 & | & -10 3 & -2 & -1 & | & 5
  • Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
    Linha3 = Linha3 - 3 * Linha1
    1 & 2 & 1 & | & 3 0 & 1 & -3 & | & -10 0 & -8 & -4 & | & -4

Passo 4

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do 1 na segunda coluna. Para isso:
  • Adicionamos 8 vezes a segunda linha à terceira linha:
    Linha3 = Linha3 + 8 * Linha2
    1 & 2 & 1 & | & 3 0 & 1 & -3 & | & -10 0 & 0 & -28 & | & -84

Passo 5

Vamos simplificar a terceira linha para facilitar:
  • Dividimos a terceira linha por -28:
    Linha3 = Linha3 / (-28)
    1 & 2 & 1 & | & 3 0 & 1 & -3 & | & -10 0 & 0 & 1 & | & 3

Passo 6

Com a matriz triangular, podemos encontrar os valores das incógnitas:
  • Da terceira linha:
  • Substituímos na segunda linha:
  • Substituímos e na primeira linha:

Resposta

A solução do sistema é:
x = 2, y = -1, z = 3

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