Discutir os sistemas de equações lineares abaixo indicados de acordo com o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que envolve um parâmetro
. O que a gente precisa fazer é descobrir para quais valores de
o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para isso, vamos usar um pouquinho de álgebra linear, especificamente o cálculo do determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar o sistema que temos:
Aqui,
é o parâmetro que influencia as soluções do sistema.
Passo 3
Para resolver, vamos organizar isso em uma matriz dos coeficientes e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, pode ter infinitas soluções ou nenhuma. A matriz dos coeficientes é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz
:
Passo 5
Vamos analisar os casos:
-
Determinante diferente de zero (
): - Isso significa que
, ou seja, e . - Nessas condições, o sistema tem uma única solução.
- Isso significa que
-
Determinante igual a zero (
): - Resolvendo
, temos , então ou . - Precisamos verificar se nessas condições o sistema é compatível ou não.
- Resolvendo
Passo 6
Vamos verificar para
:
Multiplicando a primeira equação por 2:
Comparando com a segunda equação:
Claramente,
, então não há solução. O sistema é incompatível.
Passo 7
Agora, vamos verificar para
:
Multiplicando a primeira equação por 2:
Comparando com a segunda equação:
Somando as duas equações:
Isso significa que as equações são equivalentes, então o sistema tem infinitas soluções.
Resposta
- Para
e , o sistema tem uma única solução. - Para
, o sistema não tem solução (é incompatível). - Para
, o sistema possui infinitas soluções.