Discutir os sistemas de equações lineares abaixo indicados de acordo com o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s).
2.1 x+m y & =-3 m x+4 y & =6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que envolve um parâmetro . O que a gente precisa fazer é descobrir para quais valores de o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para isso, vamos usar um pouquinho de álgebra linear, especificamente o cálculo do determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar o sistema que temos:
x + m y = -3 m x + 4 y = 6
Aqui, é o parâmetro que influencia as soluções do sistema.

Passo 3

Para resolver, vamos organizar isso em uma matriz dos coeficientes e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, pode ter infinitas soluções ou nenhuma. A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & m m & 4

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = (1)(4) - (m)(m) = 4 - m^2 :

Passo 5

Vamos analisar os casos:
  1. Determinante diferente de zero ( ):
    • Isso significa que , ou seja, e .
    • Nessas condições, o sistema tem uma única solução.
  2. Determinante igual a zero ( ):
    • Resolvendo , temos , então ou .
    • Precisamos verificar se nessas condições o sistema é compatível ou não.

Passo 6

Vamos verificar para x + 2 y = -3 2x + 4 y = 6 :
2x + 4 y = -6
Multiplicando a primeira equação por 2:
2x + 4 y = 6
Comparando com a segunda equação:
Claramente, , então não há solução. O sistema é incompatível.

Passo 7

Agora, vamos verificar para x -2 y = -3 -2x + 4 y = 6 :
2x -4 y = -6
Multiplicando a primeira equação por 2:
-2x + 4 y = 6
Comparando com a segunda equação:
(2x -4 y) + (-2x + 4 y) = -6 + 6 0 = 0
Somando as duas equações:
Isso significa que as equações são equivalentes, então o sistema tem infinitas soluções.

Resposta

  • Para e , o sistema tem uma única solução.
  • Para , o sistema não tem solução (é incompatível).
  • Para , o sistema possui infinitas soluções.

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