Discutir os sistemas de equações lineares abaixo indicados de acordo com o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que envolve um parâmetro . O que a gente precisa fazer é descobrir para quais valores de o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para isso, vamos usar um pouquinho de álgebra linear, especificamente o cálculo do determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar o sistema que temos:
Aqui, é o parâmetro que influencia as soluções do sistema.
Passo 3
Para resolver, vamos organizar isso em uma matriz dos coeficientes e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, pode ter infinitas soluções ou nenhuma. A matriz dos coeficientes é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz :
Passo 5
Vamos analisar os casos:
Determinante diferente de zero ():
Isso significa que , ou seja, e .
Nessas condições, o sistema tem uma única solução.
Determinante igual a zero ():
Resolvendo , temos , então ou .
Precisamos verificar se nessas condições o sistema é compatível ou não.
Passo 6
Vamos verificar para :
Multiplicando a primeira equação por 2:
Comparando com a segunda equação:
Claramente, , então não há solução. O sistema é incompatível.
Passo 7
Agora, vamos verificar para :
Multiplicando a primeira equação por 2:
Comparando com a segunda equação:
Somando as duas equações:
Isso significa que as equações são equivalentes, então o sistema tem infinitas soluções.
Resposta
Para e , o sistema tem uma única solução.
Para , o sistema não tem solução (é incompatível).