© Considere que o órgão fiscalizador permita que o erro cometido pelas empresas ao estimar a concentração de açúcar nas bebidas seja no máximo
. Que tamanho de amostra será necessário para produzir um intervalo de
de confiança para
, que atenderia o padrão do órgão fiscalizador?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão tá pedindo para determinar o tamanho da amostra necessário para que, com 95% de confiança, o erro na estimativa da concentração de açúcar nas bebidas não ultrapasse
. Isso envolve conceitos de estatística relacionados a intervalos de confiança e cálculo de tamanho de amostra.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como funciona um intervalo de confiança para a média. A fórmula geral é:
Aqui:
-
é a média da amostra. -
é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado. -
é o desvio padrão da população. -
é o tamanho da amostra.
Passo 3
O que a questão quer é que o erro máximo (a parte que fica depois do
) seja
. Então, temos:
Nosso objetivo é encontrar
que satisfaça essa inequação.
Passo 4
Primeiro, precisamos saber o valor de
para um intervalo de confiança de 95%. Olhando na tabela da distribuição normal, vemos que
.
Passo 5
Rearranjando a inequação para resolver
, temos:
Passo 6
Substituindo os valores que temos:
Passo 7
Portanto, o tamanho mínimo da amostra necessário é
. Como o tamanho da amostra precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima:
Resposta
O tamanho mínimo da amostra necessário para garantir que o erro na estimativa da concentração de açúcar seja no máximo
com 95% de confiança é
.