© Considere que o órgão fiscalizador permita que o erro cometido pelas empresas ao estimar a concentração de açúcar nas bebidas seja no máximo 0,1 g / L. Que tamanho de amostra será necessário para produzir um intervalo de 95 % de confiança para mu, que atenderia o padrão do órgão fiscalizador?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão tá pedindo para determinar o tamanho da amostra necessário para que, com 95% de confiança, o erro na estimativa da concentração de açúcar nas bebidas não ultrapasse 0,1 g / L. Isso envolve conceitos de estatística relacionados a intervalos de confiança e cálculo de tamanho de amostra.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como funciona um intervalo de confiança para a média. A fórmula geral é:
Intervalo de Confiança = barx pm z ( sigmaraizn ) ç
Aqui:
  • barx é a média da amostra.
  • z é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado.
  • sigma é o desvio padrão da população.
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 3

O que a questão quer é que o erro máximo (a parte que fica depois do pm) seja 0,1 g / L. Então, temos:
z ( sigmaraizn ) <= 0,1
Nosso objetivo é encontrar n que satisfaça essa inequação.

Passo 4

Primeiro, precisamos saber o valor de z para um intervalo de confiança de 95%. Olhando na tabela da distribuição normal, vemos que z approx 1,96.

Passo 5

Rearranjando a inequação para resolver n, temos:
sigmaraizn <= 0,1z raizn >= sigma cdot z0,1 n >= ( sigma cdot z0,1 )^2

Passo 6

Substituindo os valores que temos:
n >= ( sigma cdot 1,960,1 )^2 n >= ( 19,6 cdot sigma )^2 n >= 384,16 cdot sigma^2

Passo 7

Portanto, o tamanho mínimo da amostra necessário é n = 384,16 cdot sigma^2. Como o tamanho da amostra precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima:
n = 385 cdot sigma^2

Resposta

O tamanho mínimo da amostra necessário para garantir que o erro na estimativa da concentração de açúcar seja no máximo 0,1 g / L com 95% de confiança é n = 385 cdot sigma^2.

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