Estabeleça relações análogas entre as noções e da teoria dos conjuntos e noções da álgebra booleana.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou uma questão que trata das relações entre teoria dos conjuntos e álgebra booleana. No enunciado, já vimos como a interseção e a união de conjuntos se relacionam com as operações lógicas “E” (∧) e “OU” (∨), respectivamente. Agora, o objetivo aqui é estabelecer relações semelhantes para as noções de (inclusão de conjuntos) e (diferença simétrica) dentro da teoria dos conjuntos e na álgebra booleana. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que significam essas noções em ambos os contextos e como podemos expressá-las usando operações booleanas.
Passo 2
Vamos começar falando sobre a inclusão de conjuntos, representada por . Dizemos que um conjunto está incluído em um conjunto , ou seja, , se todo elemento de também é elemento de . Em termos lógicos, isso pode ser visto como uma implicação: se está em , então está em .
Isso se relaciona com a álgebra booleana através da implicação lógica. Na álgebra booleana, a implicação é equivalente a . Portanto, podemos expressar a inclusão de conjuntos usando essa equivalência lógica.
Matematicamente:
Passo 3
Agora vamos tratar da diferença simétrica, denotada por . A diferença simétrica entre dois conjuntos e , escrita como , consiste nos elementos que estão em ou em , mas não em ambos. Ou seja, é a união menos a interseção.
Na álgebra booleana, isso corresponde à operação XOR (OU exclusivo), que é verdadeiro somente quando os operandos são diferentes. Portanto, a diferença simétrica pode ser expressa usando XOR na álgebra booleana.
Matematicamente:
ou simplesmente
onde representa o XOR.
Resposta
Assim, estabelecemos que:
Inclusão de conjuntos () está relacionada à implicação lógica na álgebra booleana, podendo ser expressa como:
Diferença simétrica () está relacionada à operação XOR na álgebra booleana, podendo ser expressa como: