& x in A cap B Leftrightarrow &(x in A) wed>=(x in B) & x in A cup B Leftrightarrow &(x in A) vee(x in B)
Estabeleça relações análogas entre as noções subseteq e De da teoria dos conjuntos e noções da álgebra booleana.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou uma questão que trata das relações entre teoria dos conjuntos e álgebra booleana. No enunciado, já vimos como a interseção e a união de conjuntos se relacionam com as operações lógicas “E” (∧) e “OU” (∨), respectivamente. Agora, o objetivo aqui é estabelecer relações semelhantes para as noções de subseteq (inclusão de conjuntos) e De (diferença simétrica) dentro da teoria dos conjuntos e na álgebra booleana. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que significam essas noções em ambos os contextos e como podemos expressá-las usando operações booleanas.

Passo 2

Vamos começar falando sobre a inclusão de conjuntos, representada por subseteq. Dizemos que um conjunto A está incluído em um conjunto B, ou seja, A subseteq B, se todo elemento de A também é elemento de B. Em termos lógicos, isso pode ser visto como uma implicação: se x está em A, então x está em B.
Isso se relaciona com a álgebra booleana através da implicação lógica. Na álgebra booleana, a implicação A B é equivalente a neg A vee B. Portanto, podemos expressar a inclusão de conjuntos usando essa equivalência lógica.
Matematicamente:
A subseteq B Leftrightarrow A B Leftrightarrow neg A vee B

Passo 3

Agora vamos tratar da diferença simétrica, denotada por De. A diferença simétrica entre dois conjuntos A e B, escrita como A De, consiste nos elementos que estão em A ou em B, mas não em ambos. Ou seja, é a união menos a interseção.
Na álgebra booleana, isso corresponde à operação XOR (OU exclusivo), que é verdadeiro somente quando os operandos são diferentes. Portanto, a diferença simétrica pode ser expressa usando XOR na álgebra booleana.
Matematicamente:
ou simplesmente
A De
onde oplus representa o XOR.

Resposta

Assim, estabelecemos que:
  1. Inclusão de conjuntos ( subseteq) está relacionada à implicação lógica na álgebra booleana, podendo ser expressa como:
    A subseteq B Leftrightarrow neg A vee B
  2. Diferença simétrica ( De) está relacionada à operação XOR na álgebra booleana, podendo ser expressa como:
    A De

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