(b) Qual seria o tamanho da amostra (número de estações meteorológicas) necessária para dobrarmos a precisão do intervalo construído em (a). Assuma que .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos descobrir quantas estações meteorológicas devemos ter para dobrar a precisão do intervalo de confiança que calculamos na parte (a). A gente sabe que o desvio padrão σ é 100 mm. Isso envolve conceitos de estatística, especificamente sobre intervalos de confiança e tamanho da amostra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a precisão de um intervalo de confiança está relacionada ao erro na estimação, que é a margem de erro do intervalo. Quanto menor esse erro, mais preciso é o intervalo.
Passo 3
A margem de erro (E) é dada pela fórmula:
Onde:
é o valor crítico da distribuição normal (depende do nível de confiança),
é o desvio padrão da população,
é o tamanho da amostra.
Passo 4
Queremos dobrar a precisão, ou seja, reduzir a margem de erro pela metade. Se a nova margem de erro for , então:
Passo 5
Agora, vamos comparar com a margem de erro original:
Dividindo as duas equações:
Simplificando:
Passo 6
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Resposta
Para dobrar a precisão do intervalo de confiança, precisamos quadruplar o tamanho da amostra. Ou seja, o número de estações meteorológicas necessárias é .