(b) Qual seria o tamanho da amostra (número de estações meteorológicas) necessária para dobrarmos a precisão do intervalo construído em (a). Assuma que sigma=100 mm.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos descobrir quantas estações meteorológicas devemos ter para dobrar a precisão do intervalo de confiança que calculamos na parte (a). A gente sabe que o desvio padrão σ é 100 mm. Isso envolve conceitos de estatística, especificamente sobre intervalos de confiança e tamanho da amostra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a precisão de um intervalo de confiança está relacionada ao erro na estimação, que é a margem de erro do intervalo. Quanto menor esse erro, mais preciso é o intervalo.

Passo 3

A margem de erro (E) é dada pela fórmula:
E = z times sigmaraizn
Onde:
  • é o valor crítico da distribuição normal (depende do nível de confiança),
  • é o desvio padrão da população,
  • é o tamanho da amostra.

Passo 4

Queremos dobrar a precisão, ou seja, reduzir a margem de erro pela metade. Se a nova margem de erro for E2 = z times sigmaraiznnovo , então:

Passo 5

Agora, vamos comparar com a margem de erro original:
E = z times sigmaraizn
Dividindo as duas equações:
E2 = z times sigmaraiznnovoz times sigmaraizn
Simplificando:
12 = raiznraiznnovo
raiznnovo = 2raizn

Passo 6

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
nnovo = (2raizn)^2
nnovo = 4n

Resposta

Para dobrar a precisão do intervalo de confiança, precisamos quadruplar o tamanho da amostra. Ou seja, o número de estações meteorológicas necessárias é .

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