Considere um oscilador amortecido com frequência natural e constante de amortecimento , ambas fixas (não muito grandes), que é forçada por uma força senoidal com frequência . Mostre que a amplitude da resposta, , é máxima quando .(Valor. 1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um oscilador amortecido que está sendo forçado por uma força senoidal. A gente tem duas coisas importantes: a frequência natural do sistema, que é , e a constante de amortecimento, . Nosso objetivo é mostrar que a amplitude da resposta, dada por , atinge seu valor máximo quando a frequência da força aplicada, , é igual a . Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas para encontrar o ponto máximo da função da amplitude.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão da amplitude ao quadrado:
Nossa missão é encontrar o valor de que faz ser máximo. Para isso, vamos derivar em relação a e igualar a zero, encontrando assim o ponto crítico.

Passo 3

Vamos derivar em relação a :
Aplicando a regra da derivada de uma função do tipo , obtemos:
Simplificando a derivada e igualando a zero para encontrar o máximo:

Passo 4

Resolvendo a equação:
Desconsiderando a solução trivial , temos:

Resposta

A amplitude da resposta é máxima quando .

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