Considere um oscilador amortecido com frequência natural omega0 e constante de amortecimento beta, ambas fixas (não muito grandes), que é forçada por uma força senoidal com frequência omega. Mostre que a amplitude da resposta, A^2=f0^2(omega0^2-omega^2)^2+4 beta^2 omega^2, é máxima quando omega=raizomega0^2-2 beta^2.(Valor. 1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um oscilador amortecido que está sendo forçado por uma força senoidal. A gente tem duas coisas importantes: a frequência natural do sistema, que é omega0, e a constante de amortecimento, beta. Nosso objetivo é mostrar que a amplitude da resposta, dada por A^2=f0^2(omega0^2-omega^2)^2+4 beta^2 omega^2, atinge seu valor máximo quando a frequência da força aplicada, omega, é igual a raizomega0^2-2 beta^2. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas para encontrar o ponto máximo da função da amplitude.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão da amplitude ao quadrado:
A^2 = f0^2(omega0^2-omega^2)^2 + 4 beta^2 omega^2
Nossa missão é encontrar o valor de omega que faz A^2 ser máximo. Para isso, vamos derivar A^2 em relação a omega e igualar a zero, encontrando assim o ponto crítico.

Passo 3

Vamos derivar A^2 em relação a omega:
dA^2domega = ddomega ( f0^2(omega0^2-omega^2)^2 + 4 beta^2 omega^2 )
Aplicando a regra da derivada de uma função do tipo uv, obtemos:
Simplificando a derivada e igualando a zero para encontrar o máximo:
dA^2domega = f0^2 cdot - [ 2(omega0^2 - omega^2)(-2omega) + 8 beta^2 omega ] (omega0^2-omega^2)^2 + 4 beta^2 omega^2^2

Passo 4

Resolvendo a equação:
-4omega (omega0^2 - omega^2) + 8 beta^2 omega = 0 -4omega omega0^2 + 4omega^3 + 8 beta^2 omega = 0 4omega^3 - 4omega omega0^2 + 8 beta^2 omega = 0 omega (4omega^2 - 4 omega0^2 + 8 beta^2) = 0
Desconsiderando a solução trivial omega = 0, temos:
4omega^2 - 4 omega0^2 + 8 beta^2 = 0 4omega^2 = 4 omega0^2 - 8 beta^2 omega^2 = omega0^2 - 2 beta^2 omega = raizomega0^2 - 2 beta^2

Resposta

A amplitude da resposta é máxima quando omega = raizomega0^2 - 2 beta^2.

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