Considere um oscilador amortecido com frequência natural
e constante de amortecimento
, ambas fixas (não muito grandes), que é forçada por uma força senoidal com frequência
. Mostre que a amplitude da resposta,
, é máxima quando
.(Valor. 1,0 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um oscilador amortecido que está sendo forçado por uma força senoidal. A gente tem duas coisas importantes: a frequência natural do sistema, que é
, e a constante de amortecimento,
. Nosso objetivo é mostrar que a amplitude da resposta, dada por
, atinge seu valor máximo quando a frequência da força aplicada,
, é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas para encontrar o ponto máximo da função da amplitude.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão da amplitude ao quadrado:
Nossa missão é encontrar o valor de
que faz
ser máximo. Para isso, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero, encontrando assim o ponto crítico.
Passo 3
Vamos derivar
em relação a
:
Aplicando a regra da derivada de uma função do tipo
, obtemos:
Simplificando a derivada e igualando a zero para encontrar o máximo:
Passo 4
Resolvendo a equação:
Desconsiderando a solução trivial
, temos:
Resposta
A amplitude da resposta é máxima quando
.