(a) Obtenha os coeficientes B1 e B2 da solução do oscilador harmônico simples dada por:
x(t)=B1 cos (omega t)+B2 sen(omega t)
em termos da posição inicial x0 e da velocidade inicial v0 em t=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos os coeficientes x(t) = B1 cos (omega t) + B2 sen(omega t) e na solução do oscilador harmônico simples, que é uma equação usada para descrever movimentos oscilatórios, tipo um pêndulo ou uma mola. A equação que temos é:
Queremos expressar esses coeficientes em termos da posição inicial e da velocidade inicial quando .

Passo 2

Primeiro, vamos avaliar a posição no instante inicial x(0) = B1 cos (0) + B2 sen(0) . Substituindo x0 = B1 cdot 1 + B2 cdot 0 Rightarrow x0 = B1 na equação da posição:
Sabemos que B1 = x0 e , então:
Isso já nos dá o valor de :

Passo 3

Agora, vamos encontrar v(t) = dx(t)dt = -B1 omega sen(omega t) + B2 omega cos(omega t) usando a velocidade inicial. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar v(0) = -B1 omega sen(0) + B2 omega cos(0) :
Agora, avaliamos a velocidade no instante v0 = 0 + B2 omega cdot 1 Rightarrow v0 = B2 omega :
Sabendo que e B2 = v0omega , temos:
Isolando :

Resposta

Os coeficientes são:
B1 = x0
e
B2 = v0omega

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