(a) Obtenha os coeficientes e da solução do oscilador harmônico simples dada por:
em termos da posição inicial e da velocidade inicial em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos os coeficientes e na solução do oscilador harmônico simples, que é uma equação usada para descrever movimentos oscilatórios, tipo um pêndulo ou uma mola. A equação que temos é:
Queremos expressar esses coeficientes em termos da posição inicial e da velocidade inicial quando .

Passo 2

Primeiro, vamos avaliar a posição no instante inicial . Substituindo na equação da posição:
Sabemos que e , então:
Isso já nos dá o valor de :

Passo 3

Agora, vamos encontrar usando a velocidade inicial. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar :
Agora, avaliamos a velocidade no instante :
Sabendo que e , temos:
Isolando :

Resposta

Os coeficientes são:
e

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