(a) Obtenha os coeficientes
e
da solução do oscilador harmônico simples dada por:
em termos da posição inicial
e da velocidade inicial
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos os coeficientes
e
na solução do oscilador harmônico simples, que é uma equação usada para descrever movimentos oscilatórios, tipo um pêndulo ou uma mola. A equação que temos é:
Queremos expressar esses coeficientes em termos da posição inicial
e da velocidade inicial
quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos avaliar a posição no instante inicial
. Substituindo
na equação da posição:
Sabemos que
e , então:
Isso já nos dá o valor de
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar
usando a velocidade inicial. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar
:
Agora, avaliamos a velocidade no instante
:
Sabendo que e
, temos:
Isolando
:
Resposta
Os coeficientes são:
e