Qual é o trabalho realizado por uma força F=(2 x) imath+(3 y) j, com x em metros, ao deslocar uma partícula de uma posição r1=2 imath+3 jmath para uma posição r2=4 imath+8 jmath ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o trabalho realizado por uma força quando uma partícula se move de um ponto para outro ponto . Vamos usar conceitos de trabalho em campos de força, especialmente forças conservativas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o trabalho realizado por uma força em um deslocamento é calculado através de uma integração ao longo do caminho. Matemáticamente, isso é representado por:
W = integralr1^r2 F cdot dr
Mas, se a força for conservativa, podemos simplificar esse cálculo usando uma função potencial.

Passo 3

Vamos verificar se a força rot , F = partial (3y)partial x - partial (2x)partial y = 0 - 0 = 0 é conservativa. Uma força é conservativa se a sua rotacional for zero. Calculando a rotacional de :
Como a rotacional é zero, a força é conservativa.

Passo 4

Como F = nabla phi = ( partial phipartial x )imath + ( partial phipartial y )j é conservativa, existe uma função potencial tal que:
Vamos encontrar .

Passo 5

Integrando a componente partial phipartial x = 2x implies phi(x, y) = x^2 + g(y) da força:
partial phipartial y = dg(y)dy = 3y implies g(y) = 32y^2 + C
Agora, derivamos phi(x, y) = x^2 + 32y^2 + C em relação a e igualamos à componente da força:
Então, a função potencial é:

Passo 6

O trabalho realizado pela força é a diferença da função potencial entre os pontos finais:
W = phi(r2) - phi(r1)
Vamos calcular cada parte.

Passo 7

Calculando phi(4, 8) = 4^2 + 32(8)^2 = 16 + 32 times 64 = 16 + 96 = 112 onde phi(2, 3) = 2^2 + 32(3)^2 = 4 + 32 times 9 = 4 + 13,5 = 17,5 :
Calculando onde :

Passo 8

Agora, encontramos o trabalho:
W = 112 - 17,5 = 94,5 , J

Resposta

O trabalho realizado pela força é de 94,5 J.

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