Qual é o trabalho realizado por uma força
, com
em metros, ao deslocar uma partícula de uma posição
para uma posição
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o trabalho realizado por uma força
quando uma partícula se move de um ponto
para outro ponto
. Vamos usar conceitos de trabalho em campos de força, especialmente forças conservativas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o trabalho realizado por uma força em um deslocamento é calculado através de uma integração ao longo do caminho. Matemáticamente, isso é representado por:
Mas, se a força for conservativa, podemos simplificar esse cálculo usando uma função potencial.
Passo 3
Vamos verificar se a força
é conservativa. Uma força é conservativa se a sua rotacional for zero. Calculando a rotacional de
:
Como a rotacional é zero, a força é conservativa.
Passo 4
Como
é conservativa, existe uma função potencial
tal que:
Vamos encontrar
.
Passo 5
Integrando a componente
da força:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à componente
da força:
Então, a função potencial é:
Passo 6
O trabalho realizado pela força é a diferença da função potencial entre os pontos finais:
Vamos calcular cada parte.
Passo 7
Calculando
onde
:
Calculando
onde
:
Passo 8
Agora, encontramos o trabalho:
Resposta
O trabalho realizado pela força é de 94,5 J.