Considere um oscilador harmônico amortecido, sob a ação de uma força de arrasto linear
, formado por um corpo de massa
que pode oscilar na extremidade de uma mola de constante elástica
. Considere o caso do amortecimento crítico, em que
. a) Obtenha a equação da posição
com as condições iniciais
e
. b) mostre que a potência dissipada pela força de arrasto é dada por
. c) Em que instante a potência dissipada pela força de arrasto tem seu valor máximo?
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. Estamos lidando com um oscilador harmônico amortecido, que é um sistema onde uma massa
está presa a uma mola com constante elástica
e sofre uma força de arrasto proporcional à velocidade, representada por
. O problema nos pede para analisar esse sistema no caso de amortecimento crítico, que é a condição onde o sistema retorna ao equilíbrio o mais rapidamente possível sem oscilar. Para resolver, vamos precisar usar as equações do movimento para sistemas oscilatórios amortecidos e aplicar as condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação diferencial que descreve o movimento de um oscilador harmônico amortecido:
Aqui,
é a aceleração,
é a velocidade, e
é a posição. Dividindo toda a equação por
, temos:
Sabemos que
é a frequência natural do sistema não amortecido, e
é o coeficiente de amortecimento. No amortecimento crítico, a condição é
.
Passo 3
Com a condição de amortecimento crítico
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui,
e
são constantes que determinam as condições iniciais. Precisamos encontrar esses valores usando as condições fornecidas:
e
.
Passo 4
Aplicando a condição inicial
:
Portanto,
.
Passo 5
Agora, derivamos
para encontrar
:
Simplificando:
Aplicando a condição
:
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral:
Passo 7
Portanto, a equação da posição
com as condições iniciais fornecidas é:
Resposta
A equação da posição é dada por: