Considere um oscilador harmônico amortecido, sob a ação de uma força de arrasto linear -b v, formado por um corpo de massa m que pode oscilar na extremidade de uma mola de constante elástica k. Considere o caso do amortecimento crítico, em que beta=omegao(beta=b2 m e omegao=raizkm). a) Obtenha a equação da posição x(t) com as condições iniciais x(t=0)=xo e dotx(t=0)=0. b) mostre que a potência dissipada pela força de arrasto é dada por P(t)=-2 k xo^2 beta^3 t^2 e^-2 beta t. c) Em que instante a potência dissipada pela força de arrasto tem seu valor máximo?

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Estamos lidando com um oscilador harmônico amortecido, que é um sistema onde uma massa está presa a uma mola com constante elástica e sofre uma força de arrasto proporcional à velocidade, representada por . O problema nos pede para analisar esse sistema no caso de amortecimento crítico, que é a condição onde o sistema retorna ao equilíbrio o mais rapidamente possível sem oscilar. Para resolver, vamos precisar usar as equações do movimento para sistemas oscilatórios amortecidos e aplicar as condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação diferencial que descreve o movimento de um oscilador harmônico amortecido:
m ddotx + b dotx + k x = 0
Aqui, ddotx + bm dotx + km x = 0 é a aceleração, é a velocidade, e é a posição. Dividindo toda a equação por , temos:
Sabemos que é a frequência natural do sistema não amortecido, e é o coeficiente de amortecimento. No amortecimento crítico, a condição é .

Passo 3

Com a condição de amortecimento crítico x(t) = (A + B t) e^-beta t , a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui, e são constantes que determinam as condições iniciais. Precisamos encontrar esses valores usando as condições fornecidas: e .

Passo 4

Aplicando a condição inicial x(0) = (A + B cdot 0) e^0 = A = x0 :
Portanto, .

Passo 5

Agora, derivamos dotx(t) = ddt [ (x0 + B t) e^-beta t ] = B e^-beta t + (x0 + B t)(- beta) e^-beta t para encontrar dotx(t) = ( B - beta x0 - beta B t ) e^-beta t :
dotx(0) = (B - beta x0) e^0 = B - beta x0 = 0 implies B = beta x0
Simplificando:
Aplicando a condição :

Passo 6

Substituindo x(t) = ( x0 + beta x0 t ) e^-beta t = x0 (1 + beta t) e^-beta t e na solução geral:

Passo 7

Portanto, a equação da posição x(t) = x0 (1 + beta t) e^-beta t com as condições iniciais fornecidas é:

Resposta

A equação da posição é dada por:
x(t) = x0 (1 + beta t) e^-beta t

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