Considere um oscilador harmônico amortecido, sob a ação de uma força de arrasto linear
, formado por um corpo de massa
que pode oscilar na extremidade de uma mola de constante elástica
. Considere o caso do amortecimento crítico, em que
. a) Obtenha a equação da posição
com as condições iniciais
e
. b) mostre que a potência dissipada pela força de arrasto é dada por
. c) Em que instante a potência dissipada pela força de arrasto tem seu valor máximo?
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. Estamos lidando com um oscilador harmônico amortecido, que é um sistema onde uma massa
está presa a uma mola com constante elástica
e sofre uma força de arrasto proporcional à velocidade, representada por
. O problema nos pede para analisar esse sistema no caso de amortecimento crítico, que é a condição onde o sistema retorna ao equilíbrio o mais rapidamente possível sem oscilar. Para resolver, vamos precisar usar as equações do movimento para sistemas oscilatórios amortecidos e aplicar as condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação diferencial que descreve o movimento de um oscilador harmônico amortecido:
Aqui,
é a aceleração,
é a velocidade, e
é a posição. Dividindo toda a equação por
, temos:
Sabemos que
é a frequência natural do sistema não amortecido, e
é o coeficiente de amortecimento. No amortecimento crítico, a condição é
.
Passo 3
Com a condição de amortecimento crítico
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui,
e
são constantes que determinam as condições iniciais. Precisamos encontrar esses valores usando as condições fornecidas:
e
.
Passo 4
Aplicando a condição inicial
:
Portanto,
.
Passo 5
Agora, derivamos
para encontrar
:
Simplificando:
Aplicando a condição
:
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral:
Passo 7
Portanto, a equação da posição
com as condições iniciais fornecidas é:
Resposta
A equação da posição é dada por:
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Considere o pêndulo simples na presença de uma força de retardo com magnitude proporcional à velocidade,
. Obtenha as equações que dão a posição e a velocidade deste sistema. Dica: escreva a força de retardo em termos da velocidade angular
. Observe também que a constante
deve ter dimensão adequada para, em conjunto com a dimensão de v, produzir dimensão de força. Sabendo disso, e que essa constante deve depender dos parâmetros do pêndulo,
e
, além da gravidade
, construa a constante b a partir da análise dimensional. Como condições iniciais, considere
e
.
Considere um oscilador amortecido com frequência natural
e constante de amortecimento
, ambas fixas, que forçado por uma força
. a) Determine a taxa na qual
realiza trabalho e mostre que a taxa média
sobre qualquer número completo de ciclos é
, onde A é a amplitude. b) verifique que essa é a mesma taxa que média na qual a energia é perdida pela ação da força de amortecimento. c) mostre que, quando
é variado
é máxima quando
, ou seja, a ressonância de potência
ocorre exatamente em . Dica: lembre que potência
e da solução para a posição do oscilador obtida em aula.
ocorre exatamente em
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