Considere um oscilador harmônico amortecido, sob a ação de uma força de arrasto linear , formado por um corpo de massa que pode oscilar na extremidade de uma mola de constante elástica . Considere o caso do amortecimento crítico, em que . a) Obtenha a equação da posição com as condições iniciais e . b) mostre que a potência dissipada pela força de arrasto é dada por . c) Em que instante a potência dissipada pela força de arrasto tem seu valor máximo?

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Estamos lidando com um oscilador harmônico amortecido, que é um sistema onde uma massa está presa a uma mola com constante elástica e sofre uma força de arrasto proporcional à velocidade, representada por . O problema nos pede para analisar esse sistema no caso de amortecimento crítico, que é a condição onde o sistema retorna ao equilíbrio o mais rapidamente possível sem oscilar. Para resolver, vamos precisar usar as equações do movimento para sistemas oscilatórios amortecidos e aplicar as condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação diferencial que descreve o movimento de um oscilador harmônico amortecido:
Aqui, é a aceleração, é a velocidade, e é a posição. Dividindo toda a equação por , temos:
Sabemos que é a frequência natural do sistema não amortecido, e é o coeficiente de amortecimento. No amortecimento crítico, a condição é .

Passo 3

Com a condição de amortecimento crítico , a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui, e são constantes que determinam as condições iniciais. Precisamos encontrar esses valores usando as condições fornecidas: e .

Passo 4

Aplicando a condição inicial :
Portanto, .

Passo 5

Agora, derivamos para encontrar :
Simplificando:
Aplicando a condição :

Passo 6

Substituindo e na solução geral:

Passo 7

Portanto, a equação da posição com as condições iniciais fornecidas é:

Resposta

A equação da posição é dada por:

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Considere o pêndulo simples na presença de uma força de retardo com magnitude proporcional à velocidade, . Obtenha as equações que dão a posição e a velocidade deste sistema. Dica: escreva a força de retardo em termos da velocidade angular . Observe também que a constante deve ter dimensão adequada para, em conjunto com a dimensão de v, produzir dimensão de força. Sabendo disso, e que essa constante deve depender dos parâmetros do pêndulo, e , além da gravidade , construa a constante b a partir da análise dimensional. Como condições iniciais, considere e .
Considere um oscilador amortecido com frequência natural e constante de amortecimento , ambas fixas, que forçado por uma força . a) Determine a taxa na qual realiza trabalho e mostre que a taxa média sobre qualquer número completo de ciclos é , onde A é a amplitude. b) verifique que essa é a mesma taxa que média na qual a energia é perdida pela ação da força de amortecimento. c) mostre que, quando é variado é máxima quando , ou seja, a ressonância de potência
ocorre exatamente em . Dica: lembre que potência e da solução para a posição do oscilador obtida em aula.
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