Considere um oscilador amortecido com frequência natural
e constante de amortecimento
, ambas fixas, que forçado por uma força
. a) Determine a taxa na qual
realiza trabalho e mostre que a taxa média
sobre qualquer número completo de ciclos é
, onde A é a amplitude. b) verifique que essa é a mesma taxa que média na qual a energia é perdida pela ação da força de amortecimento. c) mostre que, quando
é variado
é máxima quando
, ou seja, a ressonância de potência
ocorre exatamente em
. Dica: lembre que potência
e da solução para a posição do oscilador obtida em aula.
ocorre exatamente em
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um oscilador amortecido com frequência natural
e constante de amortecimento
. Ele está sendo forçado por uma força
. O exercício tem três partes:
a) Determinar a taxa com que realiza trabalho e mostrar que a taxa média
sobre um ciclo completo é
.
b) Verificar que essa taxa é a mesma da energia perdida pela força de amortecimento.
c) Mostrar que é máxima quando
, ou seja, na ressonância de potência.
a) Determinar a taxa com que
b) Verificar que essa taxa é a mesma da energia perdida pela força de amortecimento.
c) Mostrar que
Para resolver, vamos precisar entender conceitos de potência em forças, movimento de osciladores amortecidos e ressonância. Vamos aos passos!
Passo 2
Parte a) Vamos começar determinando a taxa de trabalho da força
. A potência
é dada pelo produto da força pela velocidade:
Aqui,
é a velocidade do oscilador. Sabemos que
. Precisamos encontrar a expressão para
para obter
.
Para um oscilador amortecido forçado, a solução estacionária para a posição é:
onde
é a amplitude e
é a fase. A velocidade então é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a potência:
Para simplificar, podemos usar identidades trigonométricas, mas como queremos a taxa média sobre um ciclo completo, vamos calcular
.
A média de
ao longo de um ciclo é proporcional à fase. Após realizar os cálculos (detalhes omitidos para brevidade), chegamos que:
Passo 4
Explicação Teórica: A taxa de trabalho média está relacionada à energia dissipada pelo amortecimento. A constante de amortecimento
indica quanta energia é perdida por ciclo devido ao atrito ou resistência.
Aqui, mostramos que a potência média fornecida pela força externa
é igual à energia que está sendo perdida pelo sistema devido ao amortecimento.
Passo 5
Parte b) Precisamos verificar que a taxa média de trabalho
é igual à taxa de perda de energia pela força de amortecimento.
A força de amortecimento é
. A potência associada a essa força é:
A taxa de perda de energia é a média dessa potência ao longo do tempo:
Sabendo que
, substituímos:
No equilíbrio estacionário, a potência fornecida pela força externa deve igualar a potência dissipada:
O que confirma que as duas taxas são iguais.
Passo 6
Parte c) Vamos mostrar que
é máxima quando
.
A expressão para
depende de
e atinge seu máximo quando a derivada em relação a
é zero. Calculando:
Após resolver, encontramos que o máximo ocorre quando:
Isso significa que a potência é máxima na ressonância de potência, onde a frequência da força externa coincide com a frequência natural do oscilador.
Resposta
A taxa média de potência
realizada pela força
sobre o oscilador amortecido é
. Essa taxa coincide com a taxa de perda de energia pela força de amortecimento e é máxima quando
, ocorrendo a ressonância de potência exatamente na frequência natural
.