Considere o pêndulo simples na presença de uma força de retardo com magnitude proporcional à velocidade, Fr e t=b v. Obtenha as equações que dão a posição e a velocidade deste sistema. Dica: escreva a força de retardo em termos da velocidade angular dottheta, v=l dottheta. Observe também que a constante b deve ter dimensão adequada para, em conjunto com a dimensão de v, produzir dimensão de força. Sabendo disso, e que essa constante deve depender dos parâmetros do pêndulo, m e l, além da gravidade g, construa a constante b a partir da análise dimensional. Como condições iniciais, considere theta(t=0)=thetao e dottheta(t=0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um pêndulo simples que está passando por uma força de retardo proporcional à velocidade, representada por . A gente precisa encontrar as equações que descrevem a posição ( ) e a velocidade ( ) desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica dos pêndulos e análise dimensional para descobrir como a constante se relaciona com os parâmetros do pêndulo: massa , comprimento e aceleração da gravidade . Vamos resolver tudo passo a passo, sem pular nenhuma etapa!

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a força de retardo em termos da velocidade angular. Sabemos que a velocidade linear v = l dottheta do pêndulo está relacionada à velocidade angular Fret = b v = b l dottheta pela relação:
Então, substituindo isso na expressão da força de retardo, temos:
Isso nos permite trabalhar diretamente com a variável angular na nossa equação.

Passo 3

Agora, vamos montar a equação de movimento do pêndulo usando a Segunda Lei de Newton. Para um pêndulo simples, as forças que atuam são a tensão no fio e a componente do peso que puxa o pêndulo para baixo. Com a presença da força de retardo, a equação fica:
m l ddottheta = -m g sin(theta) - b l dottheta
Aqui:
  • m l ddottheta = -m g theta - b l dottheta é a força resultante (massa vezes aceleração angular),
  • ddottheta + bm dottheta + gl theta = 0 é a força restauradora devido à gravidade,
  • é a força de retardo.
Para simplificar, assumimos que os ângulos são pequenos, então . A equação fica:
Dividindo ambos os lados por :
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem que descreve o movimento do pêndulo com amortecimento.

Passo 4

Agora, vamos descobrir a forma da constante [b] = M L T^-2L T^-1 = M T^-1 usando a análise dimensional. Queremos que b = k m l g tenha dimensões de força divididas pela velocidade, ou seja, [ [b] = [k] [m][l][g] = [k] M L (L T^-2) = [k] M L^2 T^-2 ] = [Força]/[Velocidade].
Sabemos que:
  • [Força] = [k] = T L^-2 ,
  • [Velocidade] = b = m raizg ll^2 .
Então:
b = m raizg ll^2 = m raizgl^3/2
Queremos expressar em termos de , e . Vamos considerar que dependa desses parâmetros:
onde é uma constante adimensional.
Mas precisamos que as dimensões estejam corretas. tem dimensão , tem e tem . Então:
Comparando com a dimensão necessária , percebemos que deve ter dimensão dividido por :
Assim, uma forma possível para seria:
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver a equação diferencial:
ddottheta + bm dottheta + gl theta = 0
Substituindo ddottheta + raizgl^3/2 dottheta + gl theta = 0 :
theta(t) = theta0 e^-gamma t cos(omega t + phi)
Esta é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é da forma:
theta(t) = theta0 e^-raizg2l^3/2 t cos(raizgl - (raizg2l^3/2)^2 t)
onde:
  • dottheta(t) = -theta0 e^-raizg2l^3/2 t ( raizg2l^3/2 cos(omega t) + omega sin(omega t) ) é a taxa de amortecimento,
  • é a frequência angular amortecida.
Como nas condições iniciais temos e , a fase . Logo, a solução fica:
A velocidade angular �� a derivada da posição:

Resposta

As equações que descrevem a posição e a velocidade do pêndulo com força de retardo são:
theta(t) = theta0 e^-raizg2l^3/2 t cos(raizgl - (raizg2l^3/2)^2 , t)
e
dottheta(t) = -theta0 e^-raizg2l^3/2 t ( raizg2l^3/2 cos(raizgl - (raizg2l^3/2)^2 , t) + raizgl - (raizg2l^3/2)^2 , sin(raizgl - (raizg2l^3/2)^2 , t) )

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