Considere o pêndulo simples na presença de uma força de retardo com magnitude proporcional à velocidade, . Obtenha as equações que dão a posição e a velocidade deste sistema. Dica: escreva a força de retardo em termos da velocidade angular . Observe também que a constante deve ter dimensão adequada para, em conjunto com a dimensão de v, produzir dimensão de força. Sabendo disso, e que essa constante deve depender dos parâmetros do pêndulo, e , além da gravidade , construa a constante b a partir da análise dimensional. Como condições iniciais, considere e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um pêndulo simples que está passando por uma força de retardo proporcional à velocidade, representada por . A gente precisa encontrar as equações que descrevem a posição () e a velocidade () desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica dos pêndulos e análise dimensional para descobrir como a constante se relaciona com os parâmetros do pêndulo: massa , comprimento e aceleração da gravidade . Vamos resolver tudo passo a passo, sem pular nenhuma etapa!
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a força de retardo em termos da velocidade angular. Sabemos que a velocidade linear do pêndulo está relacionada à velocidade angular pela relação:
Então, substituindo isso na expressão da força de retardo, temos:
Isso nos permite trabalhar diretamente com a variável angular na nossa equação.
Passo 3
Agora, vamos montar a equação de movimento do pêndulo usando a Segunda Lei de Newton. Para um pêndulo simples, as forças que atuam são a tensão no fio e a componente do peso que puxa o pêndulo para baixo. Com a presença da força de retardo, a equação fica:
Aqui:
é a força resultante (massa vezes aceleração angular),
é a força restauradora devido à gravidade,
é a força de retardo.
Para simplificar, assumimos que os ângulos são pequenos, então . A equação fica:
Dividindo ambos os lados por :
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem que descreve o movimento do pêndulo com amortecimento.
Passo 4
Agora, vamos descobrir a forma da constante usando a análise dimensional. Queremos que tenha dimensões de força divididas pela velocidade, ou seja, [] = [Força]/[Velocidade].
Sabemos que:
[Força] = ,
[Velocidade] = .
Então:
Queremos expressar em termos de , e . Vamos considerar que dependa desses parâmetros:
onde é uma constante adimensional.
Mas precisamos que as dimensões estejam corretas. tem dimensão , tem e tem . Então:
Comparando com a dimensão necessária , percebemos que deve ter dimensão dividido por :
Assim, uma forma possível para seria:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver a equação diferencial:
Substituindo :
Esta é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é da forma:
onde:
é a taxa de amortecimento,
é a frequência angular amortecida.
Como nas condições iniciais temos e , a fase . Logo, a solução fica:
A velocidade angular �� a derivada da posição:
Resposta
As equações que descrevem a posição e a velocidade do pêndulo com força de retardo são: