Considere o pêndulo simples na presença de uma força de retardo com magnitude proporcional à velocidade,
. Obtenha as equações que dão a posição e a velocidade deste sistema. Dica: escreva a força de retardo em termos da velocidade angular
. Observe também que a constante
deve ter dimensão adequada para, em conjunto com a dimensão de v, produzir dimensão de força. Sabendo disso, e que essa constante deve depender dos parâmetros do pêndulo,
e
, além da gravidade
, construa a constante b a partir da análise dimensional. Como condições iniciais, considere
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um pêndulo simples que está passando por uma força de retardo proporcional à velocidade, representada por
. A gente precisa encontrar as equações que descrevem a posição (
) e a velocidade (
) desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica dos pêndulos e análise dimensional para descobrir como a constante
se relaciona com os parâmetros do pêndulo: massa
, comprimento
e aceleração da gravidade
. Vamos resolver tudo passo a passo, sem pular nenhuma etapa!
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a força de retardo em termos da velocidade angular. Sabemos que a velocidade linear
do pêndulo está relacionada à velocidade angular
pela relação:
Então, substituindo isso na expressão da força de retardo, temos:
Isso nos permite trabalhar diretamente com a variável angular
na nossa equação.
Passo 3
Agora, vamos montar a equação de movimento do pêndulo usando a Segunda Lei de Newton. Para um pêndulo simples, as forças que atuam são a tensão no fio e a componente do peso que puxa o pêndulo para baixo. Com a presença da força de retardo, a equação fica:
Aqui:
-
é a força resultante (massa vezes aceleração angular), -
é a força restauradora devido à gravidade, -
é a força de retardo.
Para simplificar, assumimos que os ângulos são pequenos, então
. A equação fica:
Dividindo ambos os lados por
:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem que descreve o movimento do pêndulo com amortecimento.
Passo 4
Agora, vamos descobrir a forma da constante
usando a análise dimensional. Queremos que
tenha dimensões de força divididas pela velocidade, ou seja, [
] = [Força]/[Velocidade].
Sabemos que:
- [Força] =
, - [Velocidade] =
.
Então:
Queremos expressar
em termos de
,
e
. Vamos considerar que
dependa desses parâmetros:
onde
é uma constante adimensional.
Mas precisamos que as dimensões estejam corretas.
tem dimensão
,
tem
e
tem
. Então:
Comparando com a dimensão necessária
, percebemos que
deve ter dimensão
dividido por
:
Assim, uma forma possível para
seria:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver a equação diferencial:
Substituindo
:
Esta é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é da forma:
onde:
-
é a taxa de amortecimento, -
é a frequência angular amortecida.
Como nas condições iniciais temos
e
, a fase
. Logo, a solução fica:
A velocidade angular �� a derivada da posição:
Resposta
As equações que descrevem a posição e a velocidade do pêndulo com força de retardo são:
e