Considere um oscilador harmônico dado pela seguinte equação:
d^2 xd t^2+omega^2 x=Fm
(a) Verifique se x(t)=A cos (omega t+varphi0)+F /(m omega^2) é solução da equação diferencial. (b) Se as condições iniciais são x(t=0)=0 e d xd t(t=0)=0, determine A e varphi0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um oscilador harmônico, que é um sistema que oscila em torno de uma posição de equilíbrio, como uma mola ou um pêndulo. A equação que descrevemos é uma equação diferencial de segunda ordem, que envolve a aceleração ( ), a posição ( ), a frequência angular ( ), a força constante ( ) e a massa ( ) do sistema.
Para resolver as partes (a) e (b) desse exercício, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais, funções trigonométricas e condições iniciais. Vamos por partes!

Passo 2

Parte (a): Verificar se d^2xdt^2 + omega^2x = Fm é solução da equação diferencial
Primeiro, vamos entender o que significa essa parte. Queremos verificar se a função proposta realmente satisfaz a equação diferencial dada. Para isso, vamos substituir na equação e ver se a igualdade é verdadeira.
A equação é:
Vamos calcular a segunda derivada de e substituir na equação.

Passo 3

Calculando a primeira derivada de dxdt = -A omega sin(omega t + varphi0) :
d^2xdt^2 = -A omega^2 cos(omega t + varphi0)
Calculando a segunda derivada de :

Passo 4

Substituindo - A omega^2 cos(omega t + varphi0) + omega^2 ( A cos(omega t + varphi0) + Fm omega^2 ) = Fm e na equação diferencial:
Agora, vamos simplificar essa expressão.

Passo 5

Simplificando a expressão:
Distribuindo - A omega^2 cos(omega t + varphi0) + A omega^2 cos(omega t + varphi0) + Fm = Fm no segundo termo:
Fm = Fm
Percebemos que os termos com se cancelam:
Isso confirma que a igualdade é verdadeira para qualquer valor de e .

Passo 6

Conclusão da parte (a):
Como a igualdade se confirma após substituir x(t) = A cos(omega t + varphi0) + Fm omega^2 e suas derivadas na equação diferencial, podemos dizer que a função proposta:
é de fato uma solução válida da equação diferencial dada.

Passo 7

Parte (b): Determinar x(t=0) = 0 e dxdt(t=0) = 0 e usando as condições iniciais
Agora, queremos encontrar os valores de e que fazem com que satisfaça as condições iniciais:
Vamos aplicar essas condições na nossa solução geral.

Passo 8

Aplicando a primeira condição inicial 0 = A cos(varphi0) + Fm omega^2 :
Substituindo A cos(varphi0) = -Fm omega^2 na expressão de :
Isso nos dá a equação:

Passo 9

Aplicando a segunda condição inicial dxdt = -A omega sin(omega t + varphi0) :
Primeiro, lembramos que:
0 = -A omega sin(varphi0)
Substituindo sin(varphi0) = 0 :
Isso implica que:

Passo 10

Determinando A = -Fm omega^2 :
A equação -A = -Fm omega^2 Rightarrow A = Fm omega^2 tem soluções para ou . Vamos analisar ambos os casos.
  1. Se :
    Da equação , temos:
  2. Se :
    Da equação , temos:

Passo 11

Escolhendo a solução adequada:
Para que seja um valor real positivo (considerando a amplitude da oscilação), geralmente escolhemos e .

Resposta

Os valores são:
A = Fm omega^2 e varphi0 = pi

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