Considere um oscilador harmônico dado pela seguinte equação:
(a) Verifique se
é solução da equação diferencial. (b) Se as condições iniciais são
e
, determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um oscilador harmônico, que é um sistema que oscila em torno de uma posição de equilíbrio, como uma mola ou um pêndulo. A equação que descrevemos é uma equação diferencial de segunda ordem, que envolve a aceleração (
), a posição (
), a frequência angular (
), a força constante (
) e a massa (
) do sistema.
Para resolver as partes (a) e (b) desse exercício, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais, funções trigonométricas e condições iniciais. Vamos por partes!
Passo 2
Parte (a): Verificar se
é solução da equação diferencial
Primeiro, vamos entender o que significa essa parte. Queremos verificar se a função proposta realmente satisfaz a equação diferencial dada. Para isso, vamos substituir
na equação e ver se a igualdade é verdadeira.
A equação é:
Vamos calcular a segunda derivada de
e substituir na equação.
Passo 3
Calculando a primeira derivada de
:
Calculando a segunda derivada de
:
Passo 4
Substituindo
e
na equação diferencial:
Agora, vamos simplificar essa expressão.
Passo 5
Simplificando a expressão:
Distribuindo
no segundo termo:
Percebemos que os termos com
se cancelam:
Isso confirma que a igualdade é verdadeira para qualquer valor de
e
.
Passo 6
Conclusão da parte (a):
Como a igualdade se confirma após substituir
e suas derivadas na equação diferencial, podemos dizer que a função proposta:
é de fato uma solução válida da equação diferencial dada.
Passo 7
Parte (b): Determinar
e
usando as condições iniciais
Agora, queremos encontrar os valores de
e
que fazem com que
satisfaça as condições iniciais:
Vamos aplicar essas condições na nossa solução geral.
Passo 8
Aplicando a primeira condição inicial
:
Substituindo
na expressão de
:
Isso nos dá a equação:
Passo 9
Aplicando a segunda condição inicial
:
Primeiro, lembramos que:
Substituindo
:
Isso implica que:
Passo 10
Determinando
:
A equação
tem soluções para
ou
. Vamos analisar ambos os casos.
-
Se
: Da equação, temos: -
Se
: Da equação, temos:
Passo 11
Escolhendo a solução adequada:
Para que
seja um valor real positivo (considerando a amplitude da oscilação), geralmente escolhemos
e
.
Resposta
Os valores são: