Considere um oscilador harmônico dado pela seguinte equação:
(a) Verifique se é solução da equação diferencial. (b) Se as condições iniciais são e , determine e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um oscilador harmônico, que é um sistema que oscila em torno de uma posição de equilíbrio, como uma mola ou um pêndulo. A equação que descrevemos é uma equação diferencial de segunda ordem, que envolve a aceleração ( ), a posição ( ), a frequência angular ( ), a força constante ( ) e a massa ( ) do sistema.
Para resolver as partes (a) e (b) desse exercício, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais, funções trigonométricas e condições iniciais. Vamos por partes!

Passo 2

Parte (a): Verificar se é solução da equação diferencial
Primeiro, vamos entender o que significa essa parte. Queremos verificar se a função proposta realmente satisfaz a equação diferencial dada. Para isso, vamos substituir na equação e ver se a igualdade é verdadeira.
A equação é:
Vamos calcular a segunda derivada de e substituir na equação.

Passo 3

Calculando a primeira derivada de :
Calculando a segunda derivada de :

Passo 4

Substituindo e na equação diferencial:
Agora, vamos simplificar essa expressão.

Passo 5

Simplificando a expressão:
Distribuindo no segundo termo:
Percebemos que os termos com se cancelam:
Isso confirma que a igualdade é verdadeira para qualquer valor de e .

Passo 6

Conclusão da parte (a):
Como a igualdade se confirma após substituir e suas derivadas na equação diferencial, podemos dizer que a função proposta:
é de fato uma solução válida da equação diferencial dada.

Passo 7

Parte (b): Determinar e usando as condições iniciais
Agora, queremos encontrar os valores de e que fazem com que satisfaça as condições iniciais:
Vamos aplicar essas condições na nossa solução geral.

Passo 8

Aplicando a primeira condição inicial :
Substituindo na expressão de :
Isso nos dá a equação:

Passo 9

Aplicando a segunda condição inicial :
Primeiro, lembramos que:
Substituindo :
Isso implica que:

Passo 10

Determinando :
A equação tem soluções para ou . Vamos analisar ambos os casos.
  1. Se :
    Da equação , temos:
  2. Se :
    Da equação , temos:

Passo 11

Escolhendo a solução adequada:
Para que seja um valor real positivo (considerando a amplitude da oscilação), geralmente escolhemos e .

Resposta

Os valores são:

Exercícios relacionados

Você escuta um som com nível sonoro de 30 dB com uma frequência de 350 Hz. (a) Qual é a intensidade sonora percebida por você? (b) Se a fonte está a uma distância de 100 m, qual é a sua potência? © Qual é a amplitude da variação de pressão? (d) Ao chegar a 10 m da fonte, qual será o nível sonoro?
Há som com a frequência de . (a) Qual é a menor amplitude de deslocamento (e de pressão) que pode ser escutada? (b) Considerando o caso no limiar da dor, quais são as amplitudes de deslocamento e de pressão?
Encontre a energia da seguinte onda em uma corda:
de duas maneiras: (a) Calculando a energia cinética para ao longo de todo o . (b) Somando a potência que passa por durante todo o tempo. © Os resultados dos itens
Explique por que quando alguém respira hélio (não faça isso, muitas pessoas já morreram sufocadas desta maneira) a frequência da sua voz aumenta.