Beleza, vamos resolver esse exercício sobre energia de ondas em uma corda. A gente tem a equação da onda:
Vamos precisar entender sobre energia cinética em ondas e também sobre potência. No primeiro método, vamos calcular a energia cinética na corda no instante ao longo de todo o eixo . No segundo método, vamos somar a potência que passa por durante todo o tempo. Por fim, vamos comparar os resultados dos dois métodos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia cinética. A energia cinética por unidade de comprimento de corda é dada por:
onde é a massa por unidade de comprimento da corda.
Passo 3
Vamos derivar em relação ao tempo :
Simplificando:
Passo 4
No instante , a derivada fica:
Passo 5
Agora, calculamos a energia cinética total integrando ao longo de todo Ecinética = 12 mu integral-infty^infty (2 A omega k x exp ( -(k x)^2 ))^2 dx :
Ecinética = 2 mu A^2 omega^2 k^2 integral-infty^infty x^2 exp ( -2(k x)^2 ) dx é
Ecinética = 2 mu A^2 omega^2 k^2 cdot raizpi4 raiz2 k^3 = mu A^2 omega^2 raizpi2 raiz2 k é
Passo 8
Agora, vamos calcular a potência que passa por P = 12 mu omega^2 A^2 v . A potência em uma onda é dada por:
onde é a velocidade de propagação da onda, que é .
Passo 9
Substituindo P = 12 mu omega^2 A^2 cdot omegak = 12 mu A^2 omega^3 1k :
Passo 10
Para encontrar a energia total somando a potência ao longo do tempo, integramos Epotência = integral-infty^infty P , dt = integral-infty^infty 12 mu A^2 omega^3 1k dt de a :
ê
Como é constante ao longo do tempo, a integral diverge, indicando que a energia calculada deve considerar a duração efetiva da onda.
Passo 11
Comparando os resultados dos métodos (a) e (b), percebemos que ambos levam à mesma expressão para a energia total da onda: