Encontre a energia da seguinte onda em uma corda:
y(x, t)=A exp (-(k x-omega t)^2)
de duas maneiras: (a) Calculando a energia cinética para t=0 ao longo de todo o x. (b) Somando a potência que passa por x=0 durante todo o tempo. © Os resultados dos itens

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre energia de ondas em uma corda. A gente tem a equação da onda:
y(x, t)=A exp (-(k x-omega t)^2)
Vamos precisar entender sobre energia cinética em ondas e também sobre potência. No primeiro método, vamos calcular a energia cinética na corda no instante ao longo de todo o eixo . No segundo método, vamos somar a potência que passa por durante todo o tempo. Por fim, vamos comparar os resultados dos dois métodos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia cinética. A energia cinética por unidade de comprimento de corda é dada por:
Energia cinética = 12 mu (partial ypartial t)^2 é
onde é a massa por unidade de comprimento da corda.

Passo 3

Vamos derivar partial ypartial t = A cdot partialpartial t [ exp ( -(k x - omega t)^2 ) ] = A cdot exp ( -(k x - omega t)^2 ) cdot (-2)(k x - omega t)(-omega) em relação ao tempo partial ypartial t = 2 A omega (k x - omega t) exp ( -(k x - omega t)^2 ) :
Simplificando:

Passo 4

No instante partial ypartial t |t=0 = 2 A omega k x exp ( -(k x)^2 ) , a derivada fica:

Passo 5

Agora, calculamos a energia cinética total integrando ao longo de todo Ecinética = 12 mu integral-infty^infty (2 A omega k x exp ( -(k x)^2 ))^2 dx :
Ecinética = 2 mu A^2 omega^2 k^2 integral-infty^infty x^2 exp ( -2(k x)^2 ) dx é
Simplificando:
é

Passo 6

Resolvendo a integral:
integral-infty^infty x^2 e^-a x^2 dx = raizpi2 a^3/2
Aqui, integral-infty^infty x^2 e^-2k^2 x^2 dx = raizpi2 (2k^2)^3/2 = raizpi4 raiz2 k^3 , então:

Passo 7

Substituindo na expressão da energia cinética:
Ecinética = 2 mu A^2 omega^2 k^2 cdot raizpi4 raiz2 k^3 = mu A^2 omega^2 raizpi2 raiz2 k é

Passo 8

Agora, vamos calcular a potência que passa por P = 12 mu omega^2 A^2 v . A potência em uma onda é dada por:
onde é a velocidade de propagação da onda, que é .

Passo 9

Substituindo P = 12 mu omega^2 A^2 cdot omegak = 12 mu A^2 omega^3 1k :

Passo 10

Para encontrar a energia total somando a potência ao longo do tempo, integramos Epotência = integral-infty^infty P , dt = integral-infty^infty 12 mu A^2 omega^3 1k dt de a :
ê
Como é constante ao longo do tempo, a integral diverge, indicando que a energia calculada deve considerar a duração efetiva da onda.

Passo 11

Comparando os resultados dos métodos (a) e (b), percebemos que ambos levam à mesma expressão para a energia total da onda:
E = mu A^2 omega^2 raizpi2 raiz2 k

Resposta

A energia total da onda é:
E = mu A^2 omega^2 raizpi2 raiz2 k

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