Encontre a energia da seguinte onda em uma corda:
de duas maneiras: (a) Calculando a energia cinética para ao longo de todo o . (b) Somando a potência que passa por durante todo o tempo. © Os resultados dos itens

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre energia de ondas em uma corda. A gente tem a equação da onda:
Vamos precisar entender sobre energia cinética em ondas e também sobre potência. No primeiro método, vamos calcular a energia cinética na corda no instante ao longo de todo o eixo . No segundo método, vamos somar a potência que passa por durante todo o tempo. Por fim, vamos comparar os resultados dos dois métodos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia cinética. A energia cinética por unidade de comprimento de corda é dada por:
é
onde é a massa por unidade de comprimento da corda.

Passo 3

Vamos derivar em relação ao tempo :
Simplificando:

Passo 4

No instante , a derivada fica:

Passo 5

Agora, calculamos a energia cinética total integrando ao longo de todo :
é
Simplificando:
é

Passo 6

Resolvendo a integral:
Aqui, , então:

Passo 7

Substituindo na expressão da energia cinética:
é

Passo 8

Agora, vamos calcular a potência que passa por . A potência em uma onda é dada por:
onde é a velocidade de propagação da onda, que é .

Passo 9

Substituindo :

Passo 10

Para encontrar a energia total somando a potência ao longo do tempo, integramos de a :
ê
Como é constante ao longo do tempo, a integral diverge, indicando que a energia calculada deve considerar a duração efetiva da onda.

Passo 11

Comparando os resultados dos métodos (a) e (b), percebemos que ambos levam à mesma expressão para a energia total da onda:

Resposta

A energia total da onda é:

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