Considere
um primo positivo. Mostre que
Aqui,
simboliza o conjunto dos elementos inversíveis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que os elementos inversíveis no conjunto
(onde
é um número primo positivo) são exatamente aqueles números da forma
que satisfazem
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são elementos inversíveis (ou unidades) em um anel e como encontrar o inverso de um elemento em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um elemento ser inversível. Em um anel, um elemento
é inversível se existe outro elemento
tal que
. No nosso caso, queremos encontrar quais elementos
têm um inverso também em
.
Passo 3
Agora, vamos achar o inverso de
. Suponha que exista
tal que:
Vamos multiplicar os dois termos:
Agrupando os termos com e sem
:
Como
Passo 4
Agora, temos um sistema de equações:
Queremos resolver esse sistema para
e
em termos de
e
. Da segunda equação, podemos expressar
(supondo
). Mas para simplificar, vamos usar o conceito de conjugado.
Passo 5
Em números da forma
, o conjugado é
. Vamos multiplicar o número pelo seu conjugado:
Para que
Passo 6
Então, temos que:
Isso significa que os únicos números de
Resposta
Portanto, mostramos que os elementos inversíveis em
são exatamente os números da forma
onde
. Ou seja,