Considere p um primo positivo. Mostre que
U(Z[raizp])=a+b raizp ; a^2-p b^2= pm 1
Aqui, U simboliza o conjunto dos elementos inversíveis.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que os elementos inversíveis no conjunto Z[raizp] (onde p é um número primo positivo) são exatamente aqueles números da forma a + braizp que satisfazem a^2 - p b^2 = pm 1. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são elementos inversíveis (ou unidades) em um anel e como encontrar o inverso de um elemento em Z[raizp].

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um elemento ser inversível. Em um anel, um elemento u é inversível se existe outro elemento v tal que u cdot v = 1. No nosso caso, queremos encontrar quais elementos a + braizp têm um inverso também em Z[raizp].

Passo 3

Agora, vamos achar o inverso de a + braizp. Suponha que exista c + draizp tal que:
(a + braizp)(c + draizp) = 1
Vamos multiplicar os dois termos:
ac + adraizp + bcraizp + bd p = 1
Agrupando os termos com e sem raizp:
(ac + b p d) + (ad + bc)raizp = 1
Como 1 não tem parte com raizp, precisamos que:
ac + b p d = 1 ad + bc = 0

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações:
ac + b p d = 1 ad + bc = 0
Queremos resolver esse sistema para c e d em termos de a e b. Da segunda equação, podemos expressar c = -a db (supondo b neq 0). Mas para simplificar, vamos usar o conceito de conjugado.

Passo 5

Em números da forma a + braizp, o conjugado é a - braizp. Vamos multiplicar o número pelo seu conjugado:
(a + braizp)(a - braizp) = a^2 - (braizp)^2 = a^2 - p b^2
Para que a + braizp seja inversível, esse produto precisa ser igual a 1 ou -1, porque queremos que o inverso esteja em Z[raizp].

Passo 6

Então, temos que:
a^2 - p b^2 = pm 1
Isso significa que os únicos números de Z[raizp] que têm inverso nessa forma são aqueles que satisfazem essa equação.

Resposta

Portanto, mostramos que os elementos inversíveis em Z[raizp] são exatamente os números da forma a + braizp onde a^2 - p b^2 = pm 1. Ou seja,
U(Z[raizp])=a+b raizp ; a^2-p b^2= pm 1

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