Sejam
e
números primos, positivos e distintos. Verifique que
, dada por
, não é homomorfismo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado diz que temos dois números primos diferentes,
e
. A gente tem uma função
que vai de
para
, definida por
. Nosso objetivo é verificar se essa função é um homomorfismo ou não. Para isso, vamos precisar entender o que são campos, extensões de campos e homomorfismos de campos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo. Um campo é um conjunto onde a gente pode somar, subtrair, multiplicar e dividir (exceto por zero) de forma que todas essas operações sejam bem definidas e respeitem certas propriedades, como a comutatividade e a associatividade.
Aqui,
e
são exemplos de extensões de campos. Elas são formadas adicionando
e
aos números racionais
.
Passo 3
Agora, um homomorfismo de campos é uma função que preserva as operações de adição e multiplicação. Ou seja, para qualquer dois elementos
e
em
, a função
deve satisfazer:
Vamos verificar se a função
dada cumpre essas propriedades.
Passo 4
Primeiro, vamos checar se
preserva a adição. Seja
e
, onde
são números racionais. Então:
Aplicando
:
Então,
preserva a adição.
Passo 5
Agora, vamos verificar a multiplicação. Usando os mesmos
e
:
Aplicando
:
Por outro lado, multiplicando
e
:
Passo 6
Para
ser um homomorfismo, precisamos que:
Ou seja:
Isso implica que
. Como
e
podem ser diferentes de zero (por serem coeficientes em
), temos que
.
Resposta
Como
e
são primos distintos,
. Portanto,
, o que mostra que
não é um homomorfismo.