Sejam p e q números primos, positivos e distintos. Verifique que f: Q[raizp] Q[raizq], dada por f(a+b raizp)=a+b raizq, não é homomorfismo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado diz que temos dois números primos diferentes, e . A gente tem uma função que vai de para , definida por . Nosso objetivo é verificar se essa função é um homomorfismo ou não. Para isso, vamos precisar entender o que são campos, extensões de campos e homomorfismos de campos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo. Um campo é um conjunto onde a gente pode somar, subtrair, multiplicar e dividir (exceto por zero) de forma que todas essas operações sejam bem definidas e respeitem certas propriedades, como a comutatividade e a associatividade.
Aqui, e são exemplos de extensões de campos. Elas são formadas adicionando e aos números racionais .

Passo 3

Agora, um homomorfismo de campos é uma função que preserva as operações de adição e multiplicação. Ou seja, para qualquer dois elementos f(x + y) = f(x) + f(y) e f(x cdot y) = f(x) cdot f(y) em , a função deve satisfazer:
Vamos verificar se a função dada cumpre essas propriedades.

Passo 4

Primeiro, vamos checar se x + y = (a + c) + (b + d)raizp preserva a adição. Seja f(x + y) = (a + c) + (b + d)raizq = (a + braizq) + (c + draizq) = f(x) + f(y) e , onde são números racionais. Então:
Aplicando :
Então, preserva a adição.

Passo 5

Agora, vamos verificar a multiplicação. Usando os mesmos x cdot y = (a + braizp)(c + draizp) = ac + (ad + bc)raizp + bd p e f(x cdot y) = ac + (ad + bc)raizq + bd p :
f(x) cdot f(y) = (a + braizq)(c + draizq) = ac + (ad + bc)raizq + bd q
Aplicando :
Por outro lado, multiplicando e :

Passo 6

Para f(x cdot y) = f(x) cdot f(y) ser um homomorfismo, precisamos que:
ac + (ad + bc)raizq + bd p = ac + (ad + bc)raizq + bd q
Ou seja:
Isso implica que . Como e podem ser diferentes de zero (por serem coeficientes em ), temos que .

Resposta

Como e são primos distintos, . Portanto, , o que mostra que não é um homomorfismo.

Exercícios relacionados