Se I é ideal do anel A e J é ideal do anel B, prove que I times J (produto cartesiano) é ideal de A times B.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos dois anéis, e , e dois ideais dentro desses anéis, em e em . A gente precisa provar que o produto cartesiano forma um ideal no anel .
Vamos usar conceitos de teoria de anéis e ideais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal. Em um anel, um subconjunto é um ideal se ele é um subanel e absorve a multiplicação pelo anel. Ou seja, para qualquer no anel e no ideal, tanto quanto estão no ideal.
No nosso caso, precisamos checar se satisfaz essas propriedades no anel .

Passo 3

Vamos verificar se (i1, j1) + (i2, j2) = (i1 + i2, j1 + j2) é um subanel de . Para isso, precisamos ver se ele é fechado sob adição e multiplicação.
Se temos dois elementos e em , então:
Como é ideal em e é ideal em , está em e está em . Assim, a soma está em .

Passo 4

Agora, vamos verificar a multiplicação:
(i1, j1) cdot (i2, j2) = (i1 cdot i2, j1 cdot j2)
Como é ideal em , está em , e similarmente, está em . Logo, a multiplicação também está em .

Passo 5

Então, é fechado sob adição e multiplicação, ou seja, é um subanel de .

Passo 6

Agora, vamos ver se (a, b) cdot (i, j) = (a cdot i, b cdot j) absorve a multiplicação pelo anel . Pegue qualquer elemento em e em .
A multiplicação é:
Como é ideal em , está em , e como é ideal em , está em . Então, está em .

Passo 7

Como é um subanel que absorve a multiplicação pelo anel , concluímos que é de fato um ideal de .

Resposta

Portanto, é um ideal do anel .

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