Se
é ideal do anel
e
é ideal do anel
, prove que
(produto cartesiano) é ideal de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos dois anéis,
e
, e dois ideais dentro desses anéis,
em
e
em
. A gente precisa provar que o produto cartesiano
forma um ideal no anel
.
Vamos usar conceitos de teoria de anéis e ideais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal. Em um anel, um subconjunto
é um ideal se ele é um subanel e absorve a multiplicação pelo anel. Ou seja, para qualquer
no anel e
no ideal, tanto
quanto
estão no ideal.
No nosso caso, precisamos checar se
satisfaz essas propriedades no anel
.
Passo 3
Vamos verificar se
é um subanel de
. Para isso, precisamos ver se ele é fechado sob adição e multiplicação.
Se temos dois elementos
e
em
, então:
Como
é ideal em
e
é ideal em
,
está em
e
está em
. Assim, a soma está em
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a multiplicação:
Como
é ideal em
,
está em
, e similarmente,
está em
. Logo, a multiplicação também está em
.
Passo 5
Então,
é fechado sob adição e multiplicação, ou seja, é um subanel de
.
Passo 6
Agora, vamos ver se
absorve a multiplicação pelo anel
. Pegue qualquer elemento
em
e
em
.
A multiplicação é:
Como
é ideal em
,
está em
, e como
é ideal em
,
está em
. Então,
está em
.
Passo 7
Como
é um subanel que absorve a multiplicação pelo anel
, concluímos que
é de fato um ideal de
.
Resposta
Portanto,
é um ideal do anel
.