Sabendo que a elipse de equação 2 x^2+5 x+9 y^2+4 y=8 tem eixo maior de tamanho 2 a e eixo menor de tamanho 2 b. Obtenha o valor da soma a+b.
Observação: Se a equação acima for de uma circunferência, considere na sua resposta que a=b=r, onde r é o raio da circunferência.

Passo 1

Então, a gente tem uma equação que representa uma elipse: . O objetivo aqui é descobrir os valores de e , que são metade dos tamanhos dos eixos maior e menor da elipse, respectivamente, e depois somá-los, ou seja, encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da elipse de uma forma mais padrão. Para isso, precisamos completar o quadrado tanto para o termo de quanto para o de . Isso ajuda a identificar o centro da elipse e os comprimentos dos eixos.

Passo 3

Vamos começar agrupando os termos de 2x^2 + 5x + 9y^2 + 4y = 8 e de :

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 2(x^2 + 52x) + 9y^2 + 4y = 8. Primeiro, colocamos o coeficiente de em evidência:

Passo 5

Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos 2(x^2 + 52x + 2516 - 2516) + 9y^2 + 4y = 8 dentro do parêntese:
2((x + 54)^2 - 2516) + 9y^2 + 4y = 8

Passo 6

Distribuímos o 2:
2(x + 54)^2 - 258 + 9y^2 + 4y = 8

Passo 7

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 2(x + 54)^2 - 258 + 9(y^2 + 49y) = 8. Primeiro, colocamos o coeficiente de em evidência:

Passo 8

Completa-se o quadrado adicionando e subtraindo 2(x + 54)^2 - 258 + 9((y + 29)^2 - 481) = 8:
2(x + 54)^2 - 258 + 9(y + 29)^2 - 49 = 8

Passo 9

Vamos juntar os termos constantes:
2(x + 54)^2 + 9(y + 29)^2 = 8 + 258 + 49
2(x + 54)^2 + 9(y + 29)^2 = 648 + 258 + 49
2(x + 54)^2 + 9(y + 29)^2 = 898 + 49

Passo 10

Para simplificar, encontramos um denominador comum para as frações:
898 + 49 = 80172 + 3272 = 83372
Então:
2(x + 54)^2 + 9(y + 29)^2 = 83372

Passo 11

Agora, dividimos ambos os lados da equação por 2(x + 54)^283372 + 9(y + 29)^283372 = 1 para que o lado direito seja igual a 1:
(x + 54)^2833144 + (y + 29)^2833648 = 1
Simplificando as frações:

Passo 12

Identificamos agora os valores de a^2 = 833144 e b^2 = 833648. O denominador maior corresponde a (eixo maior) e o menor a (eixo menor):

Passo 13

Calculamos a = raiz833144 = raiz83312 e b = raiz833648 = raiz83318 tirando a raiz quadrada:

Passo 14

Agora, somamos a + b = raiz83312 + raiz83318:
a + b = 3raiz83336 + 2raiz83336 = 5raiz83336
Para somar as frações, encontramos um denominador comum, que é 36:

Resposta

A soma vale .

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