Considere um pacote de ondas formado usando a função de onda A e^-alpha|x|, onde A é uma constante a ser determinada pela normalização. Normalize esta função de onda e encontre as probabilidades da partícula estando entre 0 e 1 / alpha, e entre 1 / alpha e 2 / alpha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para normalizarmos a função de onda A e^-alpha|x| e depois calcularmos as probabilidades da partícula estar entre 0 e 1/alpha, e entre 1/alpha e 2/alpha. A normalização garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Normalizar significa que a integral do quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
integral-infty^infty |A e^-alpha|x||^2 dx = 1
Como a função é real, podemos simplificar para:
A^2 integral-infty^infty e^-2alpha|x| dx = 1

Passo 3

Vamos calcular a integral:
integral-infty^infty e^-2alpha|x| dx = 2 integral0^infty e^-2alpha x dx
Isso porque a função é par (simétrica em relação a x=0). A integral de 0 a infty de e^-2alpha x é:
integral0^infty e^-2alpha x dx = 12alpha
Então,
integral-infty^infty e^-2alpha|x| dx = 22alpha = 1alpha

Passo 4

Agora, voltando à equação de normalização:
A^2 cdot 1alpha = 1 implies A^2 = alpha implies A = raizalpha
Então, a função de onda normalizada é:
psi(x) = raizalpha e^-alpha|x|

Passo 5

Agora, vamos calcular as probabilidades pedidas. A probabilidade de encontrar a partícula entre a e b é dada por:
P(a <= x <= b) = integrala^b |psi(x)|^2 dx
Substituindo psi(x):
P(a <= x <= b) = alpha integrala^b e^-2alpha x dx

Passo 6

Primeiro, para 0 <= x <= 1alpha:
P(0 <= x <= 1alpha) = alpha integral0^1/alpha e^-2alpha x dx = alpha [ -12alpha e^-2alpha x ]0^1/alpha
Calculando:
= alpha ( -12alpha e^-2alpha cdot 1alpha + 12alpha e^0 ) = alpha ( -12alpha e^-2 + 12alpha ) = 12 (1 - e^-2)

Passo 7

Agora, para 1alpha <= x <= 2alpha:
P(1alpha <= x <= 2alpha) = alpha integral1/alpha^2/alpha e^-2alpha x dx = alpha [ -12alpha e^-2alpha x ]1/alpha^2/alpha
Calculando:
= alpha ( -12alpha e^-4 + 12alpha e^-2 ) = 12 (e^-2 - e^-4)

Resposta

A função de onda normalizada é psi(x) = raizalpha e^-alpha|x|. As probabilidades são:
  • Entre 0 e 1/alpha: P = 12 (1 - e^-2)
  • Entre 1/alpha e 2/alpha: P = 12 (e^-2 - e^-4)

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