Considere um pacote de ondas formado usando a função de onda
, onde
é uma constante a ser determinada pela normalização. Normalize esta função de onda e encontre as probabilidades da partícula estando entre 0 e
, e entre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para normalizarmos a função de onda
e depois calcularmos as probabilidades da partícula estar entre
e
, e entre
e
. A normalização garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e propriedades das funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Normalizar significa que a integral do quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Como a função é real, podemos simplificar para:
Passo 3
Vamos calcular a integral:
Isso porque a função é par (simétrica em relação a x=0). A integral de
a
de
é:
Então,
Passo 4
Agora, voltando à equação de normalização:
Então, a função de onda normalizada é:
Passo 5
Agora, vamos calcular as probabilidades pedidas. A probabilidade de encontrar a partícula entre
e
é dada por:
Substituindo
:
Passo 6
Primeiro, para
:
Calculando:
Passo 7
Agora, para
:
Calculando:
Resposta
A função de onda normalizada é
. As probabilidades são:
- Entre
e : - Entre
e :