Considere o paralelepípedo com as arestas adjacentes
u & =3 i+2 j+k v & =i+j+2 k w & =i+3 j+3 k
b) Encontre a área da face determinada por u e v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um paralelepípedo com três arestas representadas pelas vektors , e . O exercício pede para encontrar a área da face formada pelas arestas e . Para isso, vamos usar o conteúdo de produto vetorial, que nos ajuda a encontrar a área de um paralelogramo formado por dois vetores.

Passo 2

Primeiramente, vamos relembrar como calcular o produto vetorial entre dois vetores. Se a times b = i & j & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 = (a2b3 - a3b2)i - (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k e , então o produto vetorial é dado por:

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso aos vetores u = 3i + 2j + k e v = i + j + 2k :
u times v = i & j & k 3 & 2 & 1 1 & 1 & 2
= (2 cdot 2 - 1 cdot 1)i - (3 cdot 2 - 1 cdot 1)j + (3 cdot 1 - 2 cdot 1)k
Calculando o produto vetorial = (4 - 1)i - (6 - 1)j + (3 - 2)k :
= 3i - 5j + 1k

Passo 4

A área da face formada por |a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2 e |u times v| = raiz3^2 + (-5)^2 + 1^2 = raiz9 + 25 + 1 = raiz35 é igual ao módulo (ou norma) do produto vetorial . A fórmula para o módulo de um vetor é:
Aplicando isso ao nosso produto vetorial:

Resposta

A área da face determinada por e é unidades quadradas.

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