Determine condições necessárias e suficientes em
e
, de modo que a matriz
não seja semelhante a uma matriz diagonal.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz 2x2:
E precisamos encontrar as condições necessárias e suficientes para que essa matriz não seja semelhante a uma matriz diagonal. Isso está ligado ao estudo de
e diagonalização, que são tópicos de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender valores próprios, autovetores e o determinante da matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser semelhante a uma matriz diagonal. Uma matriz
é semelhante a uma matriz diagonal
se existir uma matriz invertível
tal que:
Isso significa que podemos “transformar”
em uma matriz diagonal através de uma mudança de base. Para que isso seja possível,
precisa ter dois valores próprios distintos.
Passo 3
Vamos encontrar os valores próprios da matriz
. Os valores próprios
são soluções da equação característica:
Onde
é a matriz identidade. Calculando o determinante:
Desenvolvendo:
Essa é uma equação quadrática que pode ter duas soluções distintas, uma dupla ou complexas, dependendo do discriminante.
Passo 4
Para que a matriz seja semelhante a uma diagonal, precisamos que essa equação quadrática tenha duas raízes distintas. O discriminante
dessa equação é dado por:
Simplificando:
Passo 5
Para que haja duas raízes distintas, precisamos que
. Portanto, a condição necessária e suficiente para que a matriz seja diagonalizável (ou seja, semelhante a uma diagonal) é:
Passo 6
No entanto, a questão pede as condições para que a matriz não seja semelhante a uma matriz diagonal. Isso acontecerá quando a condição acima não for satisfeita, ou seja:
Resposta
As condições necessárias e suficientes para que a matriz
não seja semelhante a uma matriz diagonal são:
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Considere o paralelepípedo com as arestas adjacentes
b) Encontre a área da face determinada por
e
.
Determine o polinômio característico dos operadores lineares, encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dar uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços.
(m) .
(m)
Seja
matriz cujos autovalores distintos são
e
.
(b) Para cada possibilidade do polinômio característico de , escreva os possíveis polinômios minimais de A.
(b) Para cada possibilidade do polinômio característico de
Seja
um operador linear cujo polinômio característico é
(b) Se
é diagonalizável, qual a dimensão de
e a de
?