Determine condições necessárias e suficientes em e , de modo que a matriz
não seja semelhante a uma matriz diagonal.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz 2x2:
E precisamos encontrar as condições necessárias e suficientes para que essa matriz não seja semelhante a uma matriz diagonal. Isso está ligado ao estudo de ç e diagonalização, que são tópicos de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender valores próprios, autovetores e o determinante da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser semelhante a uma matriz diagonal. Uma matriz é semelhante a uma matriz diagonal se existir uma matriz invertível tal que:
Isso significa que podemos “transformar” em uma matriz diagonal através de uma mudança de base. Para que isso seja possível, precisa ter dois valores próprios distintos.

Passo 3

Vamos encontrar os valores próprios da matriz . Os valores próprios são soluções da equação característica:
Onde é a matriz identidade. Calculando o determinante:
Desenvolvendo:
Essa é uma equação quadrática que pode ter duas soluções distintas, uma dupla ou complexas, dependendo do discriminante.

Passo 4

Para que a matriz seja semelhante a uma diagonal, precisamos que essa equação quadrática tenha duas raízes distintas. O discriminante dessa equação é dado por:
Simplificando:

Passo 5

Para que haja duas raízes distintas, precisamos que . Portanto, a condição necessária e suficiente para que a matriz seja diagonalizável (ou seja, semelhante a uma diagonal) é:

Passo 6

No entanto, a questão pede as condições para que a matriz não seja semelhante a uma matriz diagonal. Isso acontecerá quando a condição acima não for satisfeita, ou seja:

Resposta

As condições necessárias e suficientes para que a matriz
não seja semelhante a uma matriz diagonal são:

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Considere o paralelepípedo com as arestas adjacentes
b) Encontre a área da face determinada por e .
Determine o polinômio característico dos operadores lineares, encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dar uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços.
(m) .
Seja matriz cujos autovalores distintos são e .
(b) Para cada possibilidade do polinômio característico de , escreva os possíveis polinômios minimais de A.
Seja um operador linear cujo polinômio característico é
(b) Se é diagonalizável, qual a dimensão de e a de ?