Seja
matriz cujos autovalores distintos são
e
.
(b) Para cada possibilidade do polinômio característico de
, escreva os possíveis polinômios minimais de A.
(b) Para cada possibilidade do polinômio característico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma matriz quadrada de ordem 4 com valores próprios (autovalores) distintos sendo 1 e -1. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente o estudo de polinômios característicos e polinômios mínimos de matrizes. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender como esses polinômios são formados a partir dos autovalores e suas multiplicidades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o polinômio característico de uma matriz é dado por
, onde
é a matriz identidade. Para uma matriz
, esse polinômio será de grau 4. Sabemos que os autovalores da matriz são 1 e -1, então o polinômio característico será um produto de fatores correspondentes a esses autovalores.
Passo 3
Agora, precisamos considerar as diferentes possibilidades de multiplicidade desses autovalores. Como a matriz é
, as multiplicidades algébricas dos autovalores devem somar 4. As combinações possíveis são:
-
com multiplicidade 1 e com multiplicidade 3. -
com multiplicidade 2 e com multiplicidade 2. -
com multiplicidade 3 e com multiplicidade 1.
Passo 4
Para cada uma dessas possibilidades, vamos escrever o polinômio característico correspondente:
-
Para
(multiplicidade 1) e (multiplicidade 3): -
Para
(multiplicidade 2) e (multiplicidade 2): -
Para
(multiplicidade 3) e (multiplicidade 1):
Passo 5
Agora, vamos falar sobre o polinômio minimal da matriz. O polinômio minimal é o polinômio de menor grau que anula a matriz
. Ele deve dividir o polinômio característico e conter exatamente os mesmos fatores lineares, mas com potências correspondentes às maiores cadeias de cadeias próprias na matriz (relacionadas à multiplicidade geométrica dos autovalores).
Passo 6
Para cada caso do polinômio característico, os possíveis polinômios mínimos são:
-
Quando
: - O polinômio minimal pode ser
se a multiplicidade geométrica de -1 for 3. - Ou
se a multiplicidade geométrica de -1 for 2. - Ou
se a multiplicidade geométrica de -1 for 1.
- O polinômio minimal pode ser
-
Quando
: - O polinômio minimal pode ser
se ambas as multiplicidades geométricas forem 2. - Ou
se a multiplicidade geométrica de 1 for 1 e a de -1 for 2. - Ou
se a multiplicidade geométrica de 1 for 2 e a de -1 for 1.
- O polinômio minimal pode ser
-
Quando
: - O polinômio minimal pode ser
se a multiplicidade geométrica de 1 for 3. - Ou
se a multiplicidade geométrica de 1 for 2. - Ou
se a multiplicidade geométrica de 1 for 1.
- O polinômio minimal pode ser
Resposta
Os possíveis polinômios mínimos de
são:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Exercícios relacionados
Determine condições necessárias e suficientes em
e
, de modo que a matriz
não seja semelhante a uma matriz diagonal.
Considere o paralelepípedo com as arestas adjacentes
b) Encontre a área da face determinada por
e
.
Seja
um operador linear cujo polinômio característico é
(b) Se
é diagonalizável, qual a dimensão de
e a de
?
a)
paralela à reta
que passa pelo ponto
;