Seja A in R^4 times 4 matriz cujos autovalores distintos são lambda=1 e lambda=-1.
(b) Para cada possibilidade do polinômio característico de A, escreva os possíveis polinômios minimais de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma matriz quadrada de ordem 4 com valores próprios (autovalores) distintos sendo 1 e -1. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente o estudo de polinômios característicos e polinômios mínimos de matrizes. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender como esses polinômios são formados a partir dos autovalores e suas multiplicidades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o polinômio característico de uma matriz é dado por , onde é a matriz identidade. Para uma matriz , esse polinômio será de grau 4. Sabemos que os autovalores da matriz são 1 e -1, então o polinômio característico será um produto de fatores correspondentes a esses autovalores.

Passo 3

Agora, precisamos considerar as diferentes possibilidades de multiplicidade desses autovalores. Como a matriz é , as multiplicidades algébricas dos autovalores devem somar 4. As combinações possíveis são:
  1. com multiplicidade 1 e com multiplicidade 3.
  2. com multiplicidade 2 e com multiplicidade 2.
  3. com multiplicidade 3 e com multiplicidade 1.

Passo 4

Para cada uma dessas possibilidades, vamos escrever o polinômio característico correspondente:
  1. Para pA(lambda) = (lambda - 1)(lambda + 1)^3 (multiplicidade 1) e pA(lambda) = (lambda - 1)^2(lambda + 1)^2 (multiplicidade 3):
    pA(lambda) = (lambda - 1)^3(lambda + 1)
  2. Para (multiplicidade 2) e (multiplicidade 2):
  3. Para (multiplicidade 3) e (multiplicidade 1):

Passo 5

Agora, vamos falar sobre o polinômio minimal da matriz. O polinômio minimal é o polinômio de menor grau que anula a matriz . Ele deve dividir o polinômio característico e conter exatamente os mesmos fatores lineares, mas com potências correspondentes às maiores cadeias de cadeias próprias na matriz (relacionadas à multiplicidade geométrica dos autovalores).

Passo 6

Para cada caso do polinômio característico, os possíveis polinômios mínimos são:
  1. Quando :
    • O polinômio minimal pode ser se a multiplicidade geométrica de -1 for 3.
    • Ou se a multiplicidade geométrica de -1 for 2.
    • Ou se a multiplicidade geométrica de -1 for 1.
  2. Quando :
    • O polinômio minimal pode ser se ambas as multiplicidades geométricas forem 2.
    • Ou se a multiplicidade geométrica de 1 for 1 e a de -1 for 2.
    • Ou se a multiplicidade geométrica de 1 for 2 e a de -1 for 1.
  3. Quando :
    • O polinômio minimal pode ser se a multiplicidade geométrica de 1 for 3.
    • Ou se a multiplicidade geométrica de 1 for 2.
    • Ou se a multiplicidade geométrica de 1 for 1.

Resposta

Os possíveis polinômios mínimos de mA(lambda) = (lambda - 1)(lambda + 1), (lambda - 1)(lambda + 1)^2, ou (lambda - 1)(lambda + 1)^3 são:
  1. Para mA(lambda) = (lambda - 1)(lambda + 1), (lambda - 1)^2(lambda + 1), ou (lambda - 1)(lambda + 1)^2 :
    mA(lambda) = (lambda - 1)(lambda + 1), (lambda - 1)^2(lambda + 1), ou (lambda - 1)^3(lambda + 1)
  2. Para :
  3. Para :

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