Considere uma partícula num estado cuja função de onda normalizada no intervalo de x=0 até a é
psi(x)=raiz2a sen n pi xa
Qual a probabilidade de que essa partícula seja encontrada no intervalo de x=0,31 a a x=0,75 a para n=4 ?
Sua resposta deve ter duas casas decimais.
Resposta:
0,48
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A resposta correta é: 0,48

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de mecânica quântica! A gente tem uma partícula que está numa caixa de comprimento e a função de onda dela é . Queremos descobrir qual a probabilidade de encontrar essa partícula entre e quando . Para isso, vamos usar o conceito de probabilidade na função de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de encontrar a partícula em um intervalo específico é dada pela integral do quadrado da função de onda nesse intervalo. Ou seja,
P = integralx1^x2 |psi(x)|^2 , dx
Aqui, é a densidade de probabilidade.

Passo 3

Vamos calcular psi(x) = raiz2a sin(n pi xa) . Dada a função de onda:
|psi(x)|^2 = (raiz2a sin(n pi xa))^2 = 2a sin^2(n pi xa)
Então,

Passo 4

Agora, vamos substituir na integral com P = integral0,31a^0,75a 2a sin^2(4 pi xa) , dx e os limites de integração de P = 2a integral0,31a^0,75a 1 - cos(8 pi xa)2 , dx = 1a integral0,31a^0,75a (1 - cos(8 pi xa)) , dx a P = 1a [ x - a8 pi sin(8 pi xa) ]0,31a^0,75a :
P = 1a [ (0,75a - a8 pi sin(6pi)) - (0,31a - a8 pi sin(2,48pi)) ]
Usando a identidade trigonométrica P approx 1a [ 0,75a - 0 - 0,31a + a8 pi sin(0,48pi) ] , a integral fica:
P approx 0,75 - 0,31 + 18 pi sin(0,48pi) approx 0,44 + 0,04 = 0,48
Integrando termo a termo:
Calculando os limites:
Sabendo que e :
Calculando os valores numéricos:

Resposta

0,48

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