Calcule os comutadores

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o comutador . Aqui estamos lidando com conceitos de álgebra de comutadores na mecânica quântica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um comutador e como o operador de momento se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um comutador. O comutador de dois operadores e é definido como:
Isso nos ajuda a entender como dois operadores interagem entre si quando aplicados em sequência.

Passo 3

Agora, vamos considerar o operador de posição e o operador de momento . Na mecânica quântica, o operador de momento na direção é dado por:
onde é a constante de Planck reduzida.

Passo 4

Vamos calcular o comutador usando a definição:
Substituindo :

Passo 5

Vamos aplicar o operador diferencial. Primeiro, calculemos :
Agora, substituindo de volta:

Resposta

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