Considere uma partícula de massa
que se encontra em um estado descrito pela função de onda:
onde
e
são constantes reais e positivas.
Dica:
, para
par e
, para
ímpar.
a) Determine o valor da constante
.
Dica:
a) Determine o valor da constante
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para determinar a constante $ A $ na função de onda de uma partícula. A função de onda dada é:
Aqui, $ A $, $ \alpha $ e $ \beta $ são constantes reais e positivas. O conteúdo envolve mecânica quântica, especificamente a normalização da função de onda. Para resolver isso, precisamos garantir que a probabilidade total da partícula estar em algum lugar no espaço seja igual a 1, ou seja:
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o módulo ao quadrado da função de onda $ \psi(x, t) $:
Onde $ \psi^{*}(x, t) $ é o complexo conjugado de $ \psi(x, t) $. Como $ e^{-i \frac{\beta}{2} t} $ multiplicado por seu conjugado $ e^{i \frac{\beta}{2} t} $ resulta em 1, temos:
Passo 3
Agora, precisamos integrar $ |\psi(x, t)|^{2} $ de
a
e igualar a 1:
Podemos tirar $ A^{2} $ fora da integral:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar a dica fornecida:
Aqui, $ n = 2 $ (que é par) e $ a = 2\alpha $. Calculando:
Simplificando:
Passo 5
Voltando à equação anterior:
Vamos resolver para $ A^{2} $:
Passo 6
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ A $:
Resposta
A constante $ A $ é igual a $ \displaystyle \frac{2^{3/4} \alpha{3/4}}{\pi{1/4}} $.