Considere uma partícula de massa m que se encontra em um estado descrito pela função de onda:
psi(x, t)=A e^-i beta2 t x e^-alpha x^2
onde A, alpha e beta são constantes reais e positivas.
Dica: integral-infty^infty x^n e^-a x^2=raizpia (n-1)!!(2 a)^n / 2, para n par e integral-infty^infty x^n e^-a x^2=0, para n ímpar.
a) Determine o valor da constante A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para determinar a constante $ A $ na função de onda de uma partícula. A função de onda dada é:
A
Aqui, $ A $, $ \alpha $ e $ \beta $ são constantes reais e positivas. O conteúdo envolve mecânica quântica, especificamente a normalização da função de onda. Para resolver isso, precisamos garantir que a probabilidade total da partícula estar em algum lugar no espaço seja igual a 1, ou seja:
psi(x, t) = A e^-i beta2 t x e^-alpha x^2

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo ao quadrado da função de onda $ \psi(x, t) $:
psi(x, t)
Onde $ \psi^{*}(x, t) $ é o complexo conjugado de $ \psi(x, t) $. Como $ e^{-i \frac{\beta}{2} t} $ multiplicado por seu conjugado $ e^{i \frac{\beta}{2} t} $ resulta em 1, temos:
|psi(x, t)|^2 = psi(x, t) cdot psi^*(x, t)

Passo 3

Agora, precisamos integrar $ |\psi(x, t)|^{2} $ de |psi(x, t)|^2 a -infty e igualar a 1:
+infty
Podemos tirar $ A^{2} $ fora da integral:
integral-infty^infty A^2 x^2 e^-2alpha x^2 dx = 1

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar a dica fornecida:
integral-infty^infty x^n e^-a x^2 dx = raizpia (n-1)!!(2a)^n/2, para n par
Aqui, $ n = 2 $ (que é par) e $ a = 2\alpha $. Calculando:
n = 2
Simplificando:

Passo 5

Voltando à equação anterior:
Vamos resolver para $ A^{2} $:
A^2 cdot raizpi4 raiz2 alpha^3/2 = 1

Passo 6

Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ A $:
A

Resposta

A constante $ A $ é igual a $ \displaystyle \frac{2^{3/4} \alpha{3/4}}{\pi{1/4}} $.

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