Considere uma partícula de massa m que se encontra em um estado descrito pela função de onda:
psi(x, t)=A e^-i beta2 t x e^-alpha x^2
onde A, alpha e beta são constantes reais e positivas.
Dica: integral-infty^infty x^n e^-a x^2=raizpia (n-1)!!(2 a)^n / 2, para n par e integral-infty^infty x^n e^-a x^2=0, para n ímpar.
b) Se medirmos a energia desta partícula, qual valor será encontrado? Com qual probabilidade?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma partícula com massa m descrita pela função de onda:
psi(x, t) = A e^-i beta2 t x e^-alpha x^2
O que a gente precisa descobrir aqui é: se a gente medir a energia dessa partícula, qual valor a gente vai encontrar e com que probabilidade isso vai acontecer. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, como operadores de energia e produtos internos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia em mecânica quântica é representada pelo operador Hamiltoniano H. Para uma partícula livre, o Hamiltoniano é dado por:
H = -hbar^22m d^2dx^2 + V(x)
Como não foi dado um potencial V(x) na questão, vamos assumir que V(x) = 0, ou seja, estamos lidando com uma partícula livre. Então, o Hamiltoniano simplifica para:
H = -hbar^22m d^2dx^2

Passo 3

Agora, para encontrar os possíveis valores de energia que podemos obter ao medir a energia da partícula, precisamos aplicar o operador Hamiltoniano na função de onda psi(x, t) e ver se ela é um autovetor de H. Isso significa que:
H psi(x, t) = E psi(x, t)
Se isso for verdade para algum valor E, então E é um valor próprio da energia, e a probabilidade de medir essa energia é dada pelo quadrado do coeficiente correspondente na expansão de psi(x, t) nos autovetores de H.

Passo 4

Vamos aplicar o Hamiltoniano na função de onda:
H psi(x, t) = -hbar^22m d^2dx^2 [ A e^-i beta2 t x e^-alpha x^2 ]
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de psi(x, t) em relação a x. Isso envolve derivar duas vezes a função x e^-alpha x^2:
Primeira derivada:
ddx ( x e^-alpha x^2 ) = e^-alpha x^2 + x (-2alpha x) e^-alpha x^2 = e^-alpha x^2 - 2alpha x^2 e^-alpha x^2
Segunda derivada:
d^2dx^2 ( x e^-alpha x^2 ) = ddx ( e^-alpha x^2 - 2alpha x^2 e^-alpha x^2 ) = -2alpha x e^-alpha x^2 - 4alpha x e^-alpha x^2 + 4alpha^2 x^3 e^-alpha x^2
Simplificando:
d^2dx^2 ( x e^-alpha x^2 ) = (-6alpha x + 4alpha^2 x^3) e^-alpha x^2

Passo 5

Substituindo de volta no Hamiltoniano:
H psi(x, t) = -hbar^22m A e^-i beta2 t (-6alpha x + 4alpha^2 x^3) e^-alpha x^2 = hbar^22m A e^-i beta2 t (6alpha x - 4alpha^2 x^3) e^-alpha x^2
Observamos que o resultado não é simplesmente um múltiplo da função de onda original psi(x, t). Isso significa que psi(x, t) não é um autovetor do Hamiltoniano H, ou seja, a partícula não está em um estado de energia definida. Portanto, ao medir a energia, podemos obter diferentes valores com certas probabilidades.

Resposta

Ao medir a energia dessa partícula, não há um único valor de energia definido devido à forma da função de onda psi(x, t). Em vez disso, a energia pode assumir diferentes valores com probabilidades específicas. Para determinar esses valores e suas probabilidades, precisaríamos expandir psi(x, t) em termos dos autovetores de H e calcular os coeficientes correspondentes. Contudo, com a informação fornecida, não é possível especificar valores exatos de energia e suas probabilidades associadas.

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