Considere uma partícula de massa
que se encontra em um estado descrito pela função de onda:
onde
e
são constantes reais e positivas.
Dica:
, para
par e
, para
ímpar.
b) Se medirmos a energia desta partícula, qual valor será encontrado? Com qual probabilidade?
Dica:
b) Se medirmos a energia desta partícula, qual valor será encontrado? Com qual probabilidade?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma partícula com massa
descrita pela função de onda:
O que a gente precisa descobrir aqui é: se a gente medir a energia dessa partícula, qual valor a gente vai encontrar e com que probabilidade isso vai acontecer. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, como operadores de energia e produtos internos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia em mecânica quântica é representada pelo operador Hamiltoniano
. Para uma partícula livre, o Hamiltoniano é dado por:
Como não foi dado um potencial
na questão, vamos assumir que
, ou seja, estamos lidando com uma partícula livre. Então, o Hamiltoniano simplifica para:
Passo 3
Agora, para encontrar os possíveis valores de energia que podemos obter ao medir a energia da partícula, precisamos aplicar o operador Hamiltoniano na função de onda
e ver se ela é um autovetor de
. Isso significa que:
Se isso for verdade para algum valor
, então
é um valor próprio da energia, e a probabilidade de medir essa energia é dada pelo quadrado do coeficiente correspondente na expansão de
nos autovetores de
.
Passo 4
Vamos aplicar o Hamiltoniano na função de onda:
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
. Isso envolve derivar duas vezes a função
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:
Passo 5
Substituindo de volta no Hamiltoniano:
Observamos que o resultado não é simplesmente um múltiplo da função de onda original
. Isso significa que
não é um autovetor do Hamiltoniano
, ou seja, a partícula não está em um estado de energia definida. Portanto, ao medir a energia, podemos obter diferentes valores com certas probabilidades.
Resposta
Ao medir a energia dessa partícula, não há um único valor de energia definido devido à forma da função de onda
. Em vez disso, a energia pode assumir diferentes valores com probabilidades específicas. Para determinar esses valores e suas probabilidades, precisaríamos expandir
em termos dos autovetores de
e calcular os coeficientes correspondentes. Contudo, com a informação fornecida, não é possível especificar valores exatos de energia e suas probabilidades associadas.