Considere uma partícula de massa
que se encontra em um estado descrito pela função de onda:
onde
e
são constantes reais e positivas.
Dica:
, para
par e
, para
ímpar.
f) Esta função de onda é auto-estado de posição, momento ou energia?
Dica:
f) Esta função de onda é auto-estado de posição, momento ou energia?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa
que está descrita por uma função de onda específica:
Aqui,
,
e
são constantes reais e positivas. A pergunta é: essa função de onda é um auto-estado de posição, momento ou energia?
Para resolver isso, precisamos entender o que significa ser um auto-estado (ou estado próprio) de cada uma dessas grandezas (posição, momento e energia) e ver qual delas a função de onda dada satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um auto-estado. Um auto-estado de uma grandeza física é uma função de onda que, quando aplicamos o operador correspondente a essa grandeza, resulta em um múltiplo escalar dessa função de onda. Esse múltiplo escalar é chamado de autovalor.
Então, precisamos verificar se:
- Posição:
- Momento:
- Energia:
Vamos analisar cada caso.
Passo 3
Auto-estado de Posição:
O operador posição
atua simplesmente multiplicando a função de onda por
:
Para ser um auto-estado, isso deveria ser igual a algum número
vezes
:
Isso implica que:
O que só é verdadeiro para todo
se
, mas
precisa ser um número constante. Portanto, não é um auto-estado de posição.
Passo 4
Auto-estado de Momento:
O operador momento
no espaço de posição é dado por:
Vamos aplicar isso na nossa função de onda:
Calculando a derivada:
Então:
Para ser um auto-estado, precisaríamos que:
Ou seja:
Isso não é possível porque a expressão do lado esquerdo tem termos diferentes de
. Portanto, não é um auto-estado de momento.
Passo 5
Auto-estado de Energia:
Para verificar se a função de onda é um auto-estado de energia, precisamos considerar o operador Hamiltoniano
. Supondo que estamos trabalhando com o Hamiltoniano de um oscilador harmônico ou de uma partícula livre, mas como a função de onda tem um termo
, é provável que estejamos lidando com um potencial harmônico. Porém, sem mais informações sobre o potencial, vamos assumir que o Hamiltoniano é geral.
O operador Hamiltoniano geralmente inclui termos cinéticos e potenciais:
Vamos aplicar
em
e ver se obtemos um múltiplo da própria função. No entanto, note que a função de onda tem uma dependência temporal do tipo
, o que sugere que ela está evoluindo de acordo com a equação de Schrödinger dependente do tempo na forma de um estado estacionário.
De fato, em estados estacionários, a parte temporal da função de onda é da forma
, onde
é a energia. Comparando com nossa função:
Isso sugere que
. Portanto, a função de onda está evoluindo de maneira consistente com um auto-estado de energia, assumindo que
é compatível com essa função de onda.
Resposta
Portanto, a função de onda dada é um auto-estado de energia.