Considere uma partícula de massa m que se encontra em um estado descrito pela função de onda:
psi(x, t)=A e^-i beta2 t x e^-alpha x^2
onde A, alpha e beta são constantes reais e positivas.
Dica: integral-infty^infty x^n e^-a x^2=raizpia (n-1)!!(2 a)^n / 2, para n par e integral-infty^infty x^n e^-a x^2=0, para n ímpar.
f) Esta função de onda é auto-estado de posição, momento ou energia?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa m que está descrita por uma função de onda específica:
psi(x, t) = A e^-i beta2 t x e^-alpha x^2
Aqui, A, alpha e beta são constantes reais e positivas. A pergunta é: essa função de onda é um auto-estado de posição, momento ou energia?
Para resolver isso, precisamos entender o que significa ser um auto-estado (ou estado próprio) de cada uma dessas grandezas (posição, momento e energia) e ver qual delas a função de onda dada satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um auto-estado. Um auto-estado de uma grandeza física é uma função de onda que, quando aplicamos o operador correspondente a essa grandeza, resulta em um múltiplo escalar dessa função de onda. Esse múltiplo escalar é chamado de autovalor.
Então, precisamos verificar se:
  1. Posição: x psi(x, t) = x psi(x, t) = lambda psi(x, t)
  2. Momento: p psi(x, t) = -i hbar partialpartial x psi(x, t) = lambda psi(x, t)
  3. Energia: H psi(x, t) = E psi(x, t)
Vamos analisar cada caso.

Passo 3

Auto-estado de Posição:
O operador posição x atua simplesmente multiplicando a função de onda por x:
x psi(x, t) = x cdot psi(x, t) = x cdot A e^-i beta2 t x e^-alpha x^2 = A e^-i beta2 t x^2 e^-alpha x^2
Para ser um auto-estado, isso deveria ser igual a algum número lambda vezes psi(x, t):
A e^-i beta2 t x^2 e^-alpha x^2 = lambda cdot A e^-i beta2 t x e^-alpha x^2
Isso implica que:
x^2 = lambda x
O que só é verdadeiro para todo x se lambda = x, mas lambda precisa ser um número constante. Portanto, não é um auto-estado de posição.

Passo 4

Auto-estado de Momento:
O operador momento p no espaço de posição é dado por:
p = -i hbar partialpartial x
Vamos aplicar isso na nossa função de onda:
p psi(x, t) = -i hbar partialpartial x ( A e^-i beta2 t x e^-alpha x^2 )
Calculando a derivada:
partialpartial x ( x e^-alpha x^2 ) = e^-alpha x^2 + x cdot (-2alpha x) e^-alpha x^2 = e^-alpha x^2 - 2alpha x^2 e^-alpha x^2
Então:
p psi(x, t) = -i hbar A e^-i beta2 t ( e^-alpha x^2 - 2alpha x^2 e^-alpha x^2 )
Para ser um auto-estado, precisaríamos que:
p psi(x, t) = lambda psi(x, t)
Ou seja:
-i hbar A e^-i beta2 t ( e^-alpha x^2 - 2alpha x^2 e^-alpha x^2 ) = lambda A e^-i beta2 t x e^-alpha x^2
Isso não é possível porque a expressão do lado esquerdo tem termos diferentes de x e^-alpha x^2. Portanto, não é um auto-estado de momento.

Passo 5

Auto-estado de Energia:
Para verificar se a função de onda é um auto-estado de energia, precisamos considerar o operador Hamiltoniano H. Supondo que estamos trabalhando com o Hamiltoniano de um oscilador harmônico ou de uma partícula livre, mas como a função de onda tem um termo x e^-alpha x^2, é provável que estejamos lidando com um potencial harmônico. Porém, sem mais informações sobre o potencial, vamos assumir que o Hamiltoniano é geral.
O operador Hamiltoniano geralmente inclui termos cinéticos e potenciais:
H = p^22m + V(x)
Vamos aplicar H em psi(x, t) e ver se obtemos um múltiplo da própria função. No entanto, note que a função de onda tem uma dependência temporal do tipo e^-i beta2 t, o que sugere que ela está evoluindo de acordo com a equação de Schrödinger dependente do tempo na forma de um estado estacionário.
De fato, em estados estacionários, a parte temporal da função de onda é da forma e^-i E t / hbar, onde E é a energia. Comparando com nossa função:
e^-i beta2 t versus e^-i E t / hbar
Isso sugere que E = beta2 hbar. Portanto, a função de onda está evoluindo de maneira consistente com um auto-estado de energia, assumindo que V(x) é compatível com essa função de onda.

Resposta

Portanto, a função de onda dada é um auto-estado de energia.

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