Considere uma partícula de massa m que se encontra em um estado descrito pela função de onda:
psi(x, t)=A e^-i beta2 t x e^-alpha x^2
onde A, alpha e beta são constantes reais e positivas.
Dica: integral-infty^infty x^n e^-a x^2=raizpia (n-1)!!(2 a)^n / 2, para n par e integral-infty^infty x^n e^-a x^2=0, para n ímpar.
d) Se realizarmos várias medidas da posição da partícula, qual será o valor médio encontrado? E sua incerteza?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor médio da posição de uma partícula e a incerteza dessa posição, dado que a partícula está em um estado descrito pela função de onda:
psi(x, t) = A e^-i beta2 t x e^-alpha x^2
Aqui, A, alpha e beta são constantes reais e positivas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular valores médios e incertezas usando funções de onda na mecânica quântica, além de aplicar integrais envolvendo funções gaussianas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que a função de onda psi(x, t) esteja normalizada. Normalização significa que a probabilidade total de encontrar a partícula em algum lugar no espaço é 1. Matemáticamente, isso é:
integral-infty^infty |psi(x, t)|^2 dx = 1
Vamos calcular |psi(x, t)|^2:
|psi(x, t)|^2 = psi^*(x, t) psi(x, t)
Como psi(x, t) = A e^-i beta2 t x e^-alpha x^2, o complexo conjugado psi^*(x, t) é:
psi^*(x, t) = A e^i beta2 t x e^-alpha x^2
Multiplicando as duas:
|psi(x, t)|^2 = A^2 x^2 e^-2alpha x^2
Agora, integramos isso de -infty a infty e igualamos a 1:
A^2 integral-infty^infty x^2 e^-2alpha x^2 dx = 1
Usando a dica do exercício para n=2 (par):
integral-infty^infty x^2 e^-a x^2 dx = raizpia (2-1)!!(2 a)^2 / 2 = raizpia 12 a
Aqui, a = 2alpha, então:
A^2 cdot raizpi2alpha cdot 12 cdot 2alpha = 1 A^2 cdot raizpi2alpha cdot 14alpha = 1 A^2 = 4alpharaizpi raiz2alpha = 4alpharaizpi cdot raiz2alpha1 = 4alpha raiz2alpharaizpi A = raiz4alpha raiz2alpharaizpi = Vamos simplificar mais tarde se necessário á
Mas, para os cálculos seguintes, podemos manter A como está, já que a constante será cancelada nas médias.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor médio da posição lang<= x rang<=. Isso é dado por:
lang<= x rang<= = integral-infty^infty psi^*(x, t) , x , psi(x, t) , dx
Substituindo psi^*(x, t) e psi(x, t):
lang<= x rang<= = integral-infty^infty ( A e^i beta2 t x e^-alpha x^2 ) x ( A e^-i beta2 t x e^-alpha x^2 ) dx = A^2 integral-infty^infty x^2 e^-2alpha x^2 dx
Mas já vimos que essa integral normaliza a função, e calculamos anteriormente:
A^2 integral-infty^infty x^2 e^-2alpha x^2 dx = 1
Então,
lang<= x rang<= = 1
Mas isso não faz sentido físico, já que a função de onda é ímpar em x (tem um termo x), o que geralmente resulta em lang<= x rang<= = 0. Vamos revisar.
Na verdade, percebemos que houve um erro. A função de onda é real e ímpar em x, então o valor médio da posição deve ser zero. Vamos refazer o cálculo corretamente.
A função de onda é:
psi(x, t) = A e^-i beta2 t x e^-alpha x^2
Assim, |psi(x, t)|^2 = A^2 x^2 e^-2alpha x^2, que é uma função par (igual para x e -x). Portanto:
lang<= x rang<= = integral-infty^infty x cdot |psi(x, t)|^2 dx = A^2 integral-infty^infty x^3 e^-2alpha x^2 dx
Aqui, temos uma integral de x^3 e^-2alpha x^2 sobre todo o espaço. Segundo a dica, para n ímpar, a integral é zero:
integral-infty^infty x^n e^-a x^2 dx = 0, para n ímpar í
Como n=3 é ímpar, então:
lang<= x rang<= = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular a incerteza na posição, que é dada por:
De
Já sabemos que lang<= x rang<= = 0, então:
De
Agora, precisamos encontrar lang<= x^2 rang<=:
lang<= x^2 rang<= = integral-infty^infty psi^*(x, t) , x^2 , psi(x, t) , dx = A^2 integral-infty^infty x^4 e^-2alpha x^2 dx
Usando a dica para n=4:
integral-infty^infty x^4 e^-a x^2 dx = raizpia (4-1)!!(2 a)^4 / 2 = raizpia 3!!(2 a)^2 = raizpia 3 cdot 14 a^2 = 3 raizpi4 a^5/2
Para a = 2alpha:
integral-infty^infty x^4 e^-2alpha x^2 dx = 3 raizpi4 (2alpha)^5/2 = 3 raizpi4 cdot 2^5/2 alpha^5/2 = 3 raizpi4 cdot 4 raiz2 alpha^5/2 = 3 raizpi16 raiz2 alpha^5/2
Portanto,
lang<= x^2 rang<= = A^2 cdot 3 raizpi16 raiz2 alpha^5/2
Mas lembrando que na normalização, encontramos que:
A^2 cdot raizpi2alpha cdot 14alpha = 1 A^2 = 4alpharaizpi cdot raiz2alpha = 4alpha raiz2alpharaizpi
Substituindo A^2:
lang<= x^2 rang<= = 4alpha raiz2alpharaizpi cdot 3 raizpi16 raiz2 alpha^5/2 = 4alpha raiz2alpha cdot 3 raizpi16 raiz2 alpha^5/2 raizpi = 12alpha raiz2alpha raizpi16 raiz2 alpha^5/2 raizpi = 12alpha cdot raiz2alpha16 raiz2 alpha^5/2 = 12alpha cdot raiz2 alpha^1/216 raiz2 alpha^5/2 = 12 raiz2 alpha^3/216 raiz2 alpha^5/2 = 1216 cdot alpha^3/2alpha^5/2 = 34 cdot 1alpha
Então,
lang<= x^2 rang<= = 34alpha

Resposta

O valor médio encontrado para a posição da partícula é lang<= x rang<= = 0, e a incerteza na posição é De.

Exercícios relacionados