Considere uma partícula de massa
que se encontra em um estado descrito pela função de onda:
onde
e
são constantes reais e positivas.
Dica:
, para
par e
, para
ímpar.
d) Se realizarmos várias medidas da posição da partícula, qual será o valor médio encontrado? E sua incerteza?
Dica:
d) Se realizarmos várias medidas da posição da partícula, qual será o valor médio encontrado? E sua incerteza?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor médio da posição de uma partícula e a incerteza dessa posição, dado que a partícula está em um estado descrito pela função de onda:
Aqui,
,
e
são constantes reais e positivas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular valores médios e incertezas usando funções de onda na mecânica quântica, além de aplicar integrais envolvendo funções gaussianas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que a função de onda
esteja normalizada. Normalização significa que a probabilidade total de encontrar a partícula em algum lugar no espaço é 1. Matemáticamente, isso é:
Vamos calcular
:
Como
, o complexo conjugado
é:
Multiplicando as duas:
Agora, integramos isso de
a
e igualamos a 1:
Usando a dica do exercício para
(par):
Aqui,
, então:
Mas, para os cálculos seguintes, podemos manter
como está, já que a constante será cancelada nas médias.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor médio da posição
. Isso é dado por:
Substituindo
e
:
Mas já vimos que essa integral normaliza a função, e calculamos anteriormente:
Então,
Mas isso não faz sentido físico, já que a função de onda é ímpar em
(tem um termo
), o que geralmente resulta em
. Vamos revisar.
Na verdade, percebemos que houve um erro. A função de onda é real e ímpar em
, então o valor médio da posição deve ser zero. Vamos refazer o cálculo corretamente.
A função de onda é:
Assim,
, que é uma função par (igual para
e
). Portanto:
Aqui, temos uma integral de
sobre todo o espaço. Segundo a dica, para
ímpar, a integral é zero:
Como
é ímpar, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a incerteza na posição, que é dada por:
Já sabemos que
, então:
Agora, precisamos encontrar
:
Usando a dica para
:
Para
:
Portanto,
Mas lembrando que na normalização, encontramos que:
Substituindo
:
Então,
Resposta
O valor médio encontrado para a posição da partícula é
, e a incerteza na posição é
.