Considere uma partícula de massa m que se encontra em um estado descrito pela função de onda:
psi(x, t)=A e^-i beta2 t x e^-alpha x^2
onde A, alpha e beta são constantes reais e positivas.
Dica: integral-infty^infty x^n e^-a x^2=raizpia (n-1)!!(2 a)^n / 2, para n par e integral-infty^infty x^n e^-a x^2=0, para n ímpar.
c) Se realizarmos uma medida da posição da partícula, qual será o valor mais provável de medirmos?

Passo 1

Beleza! A questão fala sobre uma partícula que está descrita por uma função de onda específica. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o valor mais provável da posição dessa partícula quando a medimos. Isso tá dentro da matéria de mecânica quântica, especificamente sobre probabilidades na posição de partículas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a densidade de probabilidade a partir da função de onda fornecida e encontrar onde essa densidade atinge seu valor máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a função de onda da partícula:
psi(x, t) = A e^-i beta2 t , x , e^-alpha x^2
Aqui, $ A $, $ \alpha $ e $ \beta $ são constantes positivas. Para encontrar a densidade de probabilidade $ P(x) $, que nos diz a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição $ x $, calculamos o módulo ao quadrado da função de onda:
A
Note que o termo $ e^{-i \frac{\beta}{2} t} $ tem módulo 1, então ele desaparece no cálculo do módulo ao quadrado.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o valor de $ x $ que maximiza a densidade de probabilidade $ P(x) $. Isso significa que precisamos encontrar onde a função $ P(x) = A^{2} x^{2} e^{-2\alpha x^{2}} $ atinge seu valor máximo.
Para isso, vamos derivar $ P(x) $ em relação a $ x $ e igualar a derivada a zero:
x
Podemos fatorar $ A^{2} x e^{-2\alpha x^{2}} $:
P(x)

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
A^2 x e^-2alpha x^2 (2 - 4alpha x^2) = 0
Isso acontece quando:
  1. $ x = 0 $
  2. $ 2 - 4\alpha x^{2} = 0 $
Resolvendo a segunda equação:
x = 0
2 - 4alpha x^2 = 0
2 - 4alpha x^2 = 0
4alpha x^2 = 2
Analisando os valores, $ x = 0 $ corresponde a um mínimo da função $ P(x) $, então os valores mais prováveis de posição são $ x = \pm \frac{1}{\sqrt{2\alpha}} $.

Resposta

O valor mais provável de posição a ser medido é $ x = \pm \frac{1}{\sqrt{2\alpha}} $.

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