Considere uma partícula de massa
que se encontra em um estado descrito pela função de onda:
onde
e
são constantes reais e positivas.
Dica:
, para
par e
, para
ímpar.
c) Se realizarmos uma medida da posição da partícula, qual será o valor mais provável de medirmos?
Dica:
c) Se realizarmos uma medida da posição da partícula, qual será o valor mais provável de medirmos?
Passo 1
Beleza! A questão fala sobre uma partícula que está descrita por uma função de onda específica. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o valor mais provável da posição dessa partícula quando a medimos. Isso tá dentro da matéria de mecânica quântica, especificamente sobre probabilidades na posição de partículas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a densidade de probabilidade a partir da função de onda fornecida e encontrar onde essa densidade atinge seu valor máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a função de onda da partícula:
Aqui, $ A $, $ \alpha $ e $ \beta $ são constantes positivas. Para encontrar a densidade de probabilidade $ P(x) $, que nos diz a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição $ x $, calculamos o módulo ao quadrado da função de onda:
Note que o termo $ e^{-i \frac{\beta}{2} t} $ tem módulo 1, então ele desaparece no cálculo do módulo ao quadrado.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o valor de $ x $ que maximiza a densidade de probabilidade $ P(x) $. Isso significa que precisamos encontrar onde a função $ P(x) = A^{2} x^{2} e^{-2\alpha x^{2}} $ atinge seu valor máximo.
Para isso, vamos derivar $ P(x) $ em relação a $ x $ e igualar a derivada a zero:
Podemos fatorar $ A^{2} x e^{-2\alpha x^{2}} $:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Isso acontece quando:
- $ x = 0 $
- $ 2 - 4\alpha x^{2} = 0 $
Resolvendo a segunda equação:
Analisando os valores, $ x = 0 $ corresponde a um mínimo da função $ P(x) $, então os valores mais prováveis de posição são $ x = \pm \frac{1}{\sqrt{2\alpha}} $.
Resposta
O valor mais provável de posição a ser medido é $ x = \pm \frac{1}{\sqrt{2\alpha}} $.