Determine o volume do sólido limitado pela superfície z=x raizx^2+x^2 y^2 e pelos planos x=0 ; x=2 ; y=0 ; y=1 e z=0.
Dado: integral sec ^3 x d x=12[sec x tan x+ln (sec x+tan x)]

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Queremos calcular o volume de um sólido que está limitado pela superfície e pelos planos , , , e . Para resolver isso, vamos usar integrais duplas, que é uma ferramenta do cálculo para encontrar volumes de formas mais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da superfície para facilitar nossos cálculos. A equação dada é:
z = x raizx^2 + x^2 y^2
Podemos fatorar z = x raizx^2(1 + y^2) = x cdot x cdot raiz1 + y^2 = x^2 raiz1 + y^2 dentro da raiz:
z = x^2 raiz1 + y^2
Então, a equação da superfície fica:

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. Os planos que limitam o sólido nos dão os intervalos para e :
  • varia de 0 a 2
  • varia de 0 a 1
E para cada ponto dentro desses limites, varia de 0 até a superfície .

Passo 4

Para encontrar o volume, configuramos uma integral dupla sobre a região definida. A fórmula para o volume V = integralx=0^2 integraly=0^1 z , dy , dx = integral0^2 integral0^1 x^2 raiz1 + y^2 , dy , dx ser��:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar com relação a integral0^1 x^2 raiz1 + y^2 , dy :
x^2 integral0^1 raiz1 + y^2 , dy
Aqui, 12 ( y raiz1 + y^2 + sinh^-1(y) ) é constante em relação a , então podemos tirá-lo da integral:
A integral pode ser resolvida usando substituição trigonométrica ou integrais padrão, e resulta em:

Passo 6

Agora, avaliando a integral de 0 a 1:
x^2 [ 12 ( 1 cdot raiz2 + sinh^-1(1) ) - 12 ( 0 + sinh^-1(0) ) ]
Sabemos que x^2 [ raiz22 + ln(1 + raiz2)2 ] e , então:

Passo 7

Agora, substituímos isso na integral externa e integramos com relação a V = integral0^2 x^2 ( raiz2 + ln(1 + raiz2)2 ) , dx de 0 a 2:
V = raiz2 + ln(1 + raiz2)2 integral0^2 x^2 , dx
Fatorando as constantes:
V = raiz2 + ln(1 + raiz2)2 [ 2^33 - 0^33 ] = raiz2 + ln(1 + raiz2)2 cdot 83 = 43 (raiz2 + ln(1 + raiz2))
A integral é , então:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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