Determine o volume do sólido limitado pela superfície
e pelos planos
e
.
Dado:
Dado:
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Queremos calcular o volume de um sólido que está limitado pela superfície
e pelos planos
,
,
,
e
. Para resolver isso, vamos usar integrais duplas, que é uma ferramenta do cálculo para encontrar volumes de formas mais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da superfície para facilitar nossos cálculos. A equação dada é:
Podemos fatorar
dentro da raiz:
Então, a equação da superfície fica:
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. Os planos que limitam o sólido nos dão os intervalos para
e
:
-
varia de 0 a 2 -
varia de 0 a 1
E para cada ponto dentro desses limites,
varia de 0 até a superfície
.
Passo 4
Para encontrar o volume, configuramos uma integral dupla sobre a região definida. A fórmula para o volume
ser��:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar com relação a
:
Aqui,
é constante em relação a
, então podemos tirá-lo da integral:
A integral
pode ser resolvida usando substituição trigonométrica ou integrais padrão, e resulta em:
Passo 6
Agora, avaliando a integral de 0 a 1:
Sabemos que
e
, então:
Passo 7
Agora, substituímos isso na integral externa e integramos com relação a
de 0 a 2:
Fatorando as constantes:
A integral
é
, então:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Sabemos que a área
de uma região simples
pode ser obtida pela integral
Sejam
e
. Mostre que
.
Considere que uma partícula de massa
se mova de tal forma que seu vetor posição é dado pela função vetorial
. Assuma também que a única força que age sobre tal partícula é o campo vetorial F. Nessas condições, a Segunda Lei de Newton nos dá
Mostre que o trabalho realizado por tal força,
, é igual a variação da energia cinética;
variação da energia cinética.
A altura de um cone circular reto está aumentando a uma taxa de
e o raio decrescendo a uma taxa de
. Ache a taxa de variação do volume no instante em que a altura é 200 cm e o raio é 60 cm .
Determine o volume do sólido que está dentro da esfera
, acima do plano
e abaixo do cone
.