Considere uma partícula de massa m que pode se mover livremente sobre o eixo x entre os pontos x= pm a / 2, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora nesta região. A função de onda da partícula é:
varphi(x)=A cos (3 pi xa) & -a / 2= a / 2
c) Calcule De;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de mecânica quântica juntos! O problema fala sobre uma partícula que pode se mover livremente ao longo do eixo x, mas está restrita entre os pontos x = -a2 e x = a2. A função de onda da partícula é dada por:
varphi(x) = A cos(3pi xa) & se -a2 < x < a2 0 & caso contrário á
Queremos calcular De usando o operador de momento $ \hat{p} = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x} $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de operadores, funções de onda e cálculo de valor esperado em mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que De representa a incerteza no momento da partícula. Matematicamente, De é dado por:
De
Isso significa que precisamos calcular dois valores: o valor esperado do operador momento lang<= p rang<= e o valor esperado do operador momento ao quadrado lang<= p^2 rang<=.

Passo 3

Vamos começar calculando lang<= p rang<=. O valor esperado de p é dado por:
lang<= p rang<= = integral-a2^a2 varphi^*(x) (-i hbar partialpartial x) varphi(x) , dx
Como a função de onda varphi(x) é real, varphi^*(x) = varphi(x). Vamos derivar varphi(x):
partial varphi(x)partial x = -A 3pia sin(3pi xa)
Agora, substituindo na expressão de lang<= p rang<=:
lang<= p rang<= = -i hbar integral-a2^a2 A cos(3pi xa) (-A 3pia sin(3pi xa)) , dx
Simplificando:
lang<= p rang<= = i hbar A^2 3pia integral-a2^a2 cos(3pi xa) sin(3pi xa) , dx

Passo 4

Observamos que a integral de cos(kx) sin(kx) sobre um intervalo simétrico em torno de zero é igual a zero, pois a função é ímpar. Portanto:
lang<= p rang<= = 0

Passo 5

Agora, vamos calcular lang<= p^2 rang<=. O valor esperado de p^2 é dado por:
lang<= p^2 rang<= = integral-a2^a2 varphi^*(x) (-hbar^2 partial^2partial x^2) varphi(x) , dx
Vamos calcular a segunda derivada de varphi(x):
partial^2 varphi(x)partial x^2 = -A (3pia)^2 cos(3pi xa)
Substituindo na expressão de lang<= p^2 rang<=:
lang<= p^2 rang<= = -hbar^2 integral-a2^a2 A cos(3pi xa) (-A (3pia)^2 cos(3pi xa)) , dx
Simplificando:
lang<= p^2 rang<= = hbar^2 A^2 (9pi^2a^2) integral-a2^a2 cos^2(3pi xa) , dx

Passo 6

Vamos calcular a integral de cos^2(kx). Sabemos que:
cos^2(kx) = 1 + cos(2kx)2
Aplicando isso na integral:
integral-a2^a2 cos^2(3pi xa) , dx = 12 integral-a2^a2 [1 + cos(6pi xa)] , dx
Integrando termo a termo:
= 12 [ integral-a2^a2 1 , dx + integral-a2^a2 cos(6pi xa) , dx ]
A segunda integral é zero porque cos é uma função par e a integral sobre um intervalo simétrico é zero. Então:
= 12 [ a + 0 ] = a2

Passo 7

Voltando à expressão de lang<= p^2 rang<=:
lang<= p^2 rang<= = hbar^2 A^2 (9pi^2a^2) (a2) = hbar^2 A^2 (9pi^22a)

Passo 8

Agora, precisamos encontrar o valor de A. Sabemos que a função de onda deve ser normalizada, ou seja:
integral-a2^a2 |varphi(x)|^2 , dx = 1
Substituindo varphi(x):
A^2 integral-a2^a2 cos^2(3pi xa) , dx = 1
Já calculamos essa integral e vimos que ela é a2. Então:
A^2 (a2) = 1 implies A^2 = 2a implies A = raiz2a

Passo 9

Substituindo A^2 = 2a na expressão de lang<= p^2 rang<=:
lang<= p^2 rang<= = hbar^2 (2a) (9pi^22a) = hbar^2 (18pi^22a^2) = hbar^2 (9pi^2a^2)

Passo 10

Agora, lembrando que lang<= p rang<= = 0, temos:
De

Resposta

A incerteza no momento é De.

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