Considere uma partícula de massa
que pode se mover livremente sobre o eixo
entre os pontos
, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora nesta região. A função de onda da partícula é:
c) Calcule
;
c) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de mecânica quântica juntos! O problema fala sobre uma partícula que pode se mover livremente ao longo do eixo
, mas está restrita entre os pontos
e
. A função de onda da partícula é dada por:
Queremos calcular
usando o operador de momento $ \hat{p} = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x} $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de operadores, funções de onda e cálculo de valor esperado em mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
representa a incerteza no momento da partícula. Matematicamente,
é dado por:
Isso significa que precisamos calcular dois valores: o valor esperado do operador momento
e o valor esperado do operador momento ao quadrado
.
Passo 3
Vamos começar calculando
. O valor esperado de
é dado por:
Como a função de onda
é real,
. Vamos derivar
:
Agora, substituindo na expressão de
:
Simplificando:
Passo 4
Observamos que a integral de
sobre um intervalo simétrico em torno de zero é igual a zero, pois a função é ímpar. Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. O valor esperado de
é dado por:
Vamos calcular a segunda derivada de
:
Substituindo na expressão de
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos calcular a integral de
. Sabemos que:
Aplicando isso na integral:
Integrando termo a termo:
A segunda integral é zero porque
é uma função par e a integral sobre um intervalo simétrico é zero. Então:
Passo 7
Voltando à expressão de
:
Passo 8
Agora, precisamos encontrar o valor de
. Sabemos que a função de onda deve ser normalizada, ou seja:
Substituindo
:
Já calculamos essa integral e vimos que ela é
. Então:
Passo 9
Substituindo
na expressão de
:
Passo 10
Agora, lembrando que
, temos:
Resposta
A incerteza no momento é
.