Use análise dimensional para dizer qual é a dimensão da função de onda em uma dimensão espacial, isto é, [varphi(x)]. Em três dimensões espaciais [varphi(x)] tem a mesma dimensionalidade? Esta dimensionalidade depende da escolha do sistema de coordenadas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar análise dimensional para descobrir qual é a dimensão da função de onda, que a gente denota por $ \varphi(x) $, em uma dimensão espacial. Depois, vamos ver se essa dimensão muda quando a gente passa para três dimensões e se isso depende do sistema de coordenadas que a gente escolhe. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre dimensões físicas e como elas se aplicam nas funções de onda na mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de onda $ \varphi(x) $ está relacionada com a probabilidade de encontrar uma partícula em determinado lugar. A probabilidade precisa ser um número sem dimensão, ou seja, adimensional. Em uma dimensão, a probabilidade de encontrar a partícula entre $ x $ e $ x + dx $ é dada por:
varphi(x)
Aqui, $ \varphi^*(x) $ é o complexo conjugado de $ \varphi(x) $.

Passo 3

Como a probabilidade $ P $ é adimensional, o produto $ \varphi^*(x) \varphi(x) $ deve ter a dimensão de 1/Comprimento para que, ao multiplicar por $ dx $ (que tem dimensão de Comprimento), o resultado seja adimensional. Portanto:
P

Passo 4

Como $ \varphi^*(x) $ e $ \varphi(x) $ têm a mesma dimensão, podemos dizer que:
varphi^*(x)
Aqui, $ L $ representa a dimensão de comprimento.

Passo 5

Então, em uma dimensão espacial, a dimensão da função de onda $ \varphi(x) $ é $ [L^{-1/2}] $, ou seja, 1 sobre a raiz de comprimento.

Passo 6

Agora, vamos para três dimensões espaciais. A probabilidade de encontrar a partícula dentro de um volume $ dV $ é dada por:
dV
Aqui, $ dV $ tem dimensão de Volume ($ L^3 $).

Passo 7

Seguindo o mesmo raciocínio que usamos na 1D, para que $ P $ seja adimensional:
P

Passo 8

Como $ \varphi^*(\mathbf{r}) $ e $ \varphi(\mathbf{r}) $ têm a mesma dimensão:
varphi^*(r)
Portanto, em três dimensões, a dimensão da função de onda é $ [L^{-3/2}] $.

Passo 9

Quanto à escolha do sistema de coordenadas, as dimensões físicas não dependem do sistema que a gente escolhe. Isso significa que, seja em coordenadas cartesianas, esféricas ou qualquer outro sistema, a dimensão da função de onda permanece a mesma.

Resposta

Em uma dimensão espacial, a função de onda $ \varphi(x) $ tem dimensão $ [L^{-1/2}] $. Ao passar para três dimensões espaciais, sua dimensão se torna $ [L^{-3/2}] $. Essa dimensionalidade não depende da escolha do sistema de coordenadas utilizado.

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