Considere que uma partícula de massa m possa ser colocada no interior da Terra. Calcule a força gravitacional a que esta partícula ficaria sujeita quando posicionada a uma distância r do centro do planeta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a força gravitacional que uma partícula de massa
sofre quando está dentro da Terra, a uma distância
do centro do planeta. Para isso, vamos usar conceitos de Gravitação e a Lei da Gravitação Universal de Newton.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a Terra pode ser considerada uma esfera com massa distribuída de maneira uniforme. Quando uma partícula está dentro de uma esfera como a Terra, somente a massa que está à sua interior (ou seja, dentro do raio
) contribui para a força gravitacional que ela sente. Essa ideia vem do Teorema do Escudo de Newton.
Passo 3
A força gravitacional
que a partícula sofre é calculada pela fórmula da Lei da Gravitação Universal:
Onde:
-
é a constante gravitacional ( ), -
é a massa da Terra dentro do raio , -
é a massa da partícula, -
é a distância do centro da Terra até a partícula.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
, a massa dentro do raio
. Se considerarmos que a densidade
da Terra é uniforme, a massa dentro desse raio é dada por:
Onde
é a densidade da Terra.
Passo 5
Substituindo
na fórmula da força gravitacional, temos:
Simplificando a expressão:
Resposta
A força gravitacional que a partícula de massa
sofre a uma distância
do centro da Terra é dada por:
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(a) A coordenada
(b) O módulo da velocidade do objeto.