Considere que uma partícula de massa m possa ser colocada no interior da Terra. Calcule a força gravitacional a que esta partícula ficaria sujeita quando posicionada a uma distância r do centro do planeta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a força gravitacional que uma partícula de massa sofre quando está dentro da Terra, a uma distância do centro do planeta. Para isso, vamos usar conceitos de Gravitação e a Lei da Gravitação Universal de Newton.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a Terra pode ser considerada uma esfera com massa distribuída de maneira uniforme. Quando uma partícula está dentro de uma esfera como a Terra, somente a massa que está à sua interior (ou seja, dentro do raio ) contribui para a força gravitacional que ela sente. Essa ideia vem do Teorema do Escudo de Newton.

Passo 3

A força gravitacional F = G m M(r)r^2 que a partícula sofre é calculada pela fórmula da Lei da Gravitação Universal:
Onde:
  • é a constante gravitacional ( ),
  • é a massa da Terra dentro do raio ,
  • é a massa da partícula,
  • é a distância do centro da Terra até a partícula.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar M(r) = 43 pi r^3 rho , a massa dentro do raio . Se considerarmos que a densidade da Terra é uniforme, a massa dentro desse raio é dada por:
Onde é a densidade da Terra.

Passo 5

Substituindo F = G m ( 43 pi r^3 rho )r^2 na fórmula da força gravitacional, temos:
F = 43 pi G rho m r
Simplificando a expressão:

Resposta

A força gravitacional que a partícula de massa F = 43 pi G rho m r sofre a uma distância do centro da Terra é dada por:

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