Num sistema estelar binário, duas estrelas, com massas
e
, descrevem uma órbita circular em torno do centro de massa delas. A estrela de massa
possui uma órbita com raio
e a estrela de massa
possui uma órbita com raio
.
Em um certo sistema binário de órbitas circulares, a primeira estrela (Alfa) possui velocidade orbital igual a
, enquanto a segunda (Beta) possui velocidade igual a
e ambas possuem um período orbital de 137 dias. Calcule a massa de cada uma das estrelas.
Em um certo sistema binário de órbitas circulares, a primeira estrela (Alfa) possui velocidade orbital igual a
Passo 1
Entendendo o Problema
Estamos lidando com um sistema estelar binário, onde duas estrelas, Alfa e Beta, orbitam um centro de massa comum em órbitas circulares. As velocidades orbitais são dadas: Alfa tem
e Beta tem
. Ambas completam uma órbita em
dias. Nosso objetivo é calcular as massas de cada estrela,
(Alfa) e
(Beta).
Para resolver isso, vamos usar a Lei da Gravitação Universal de Newton e a Terceira Lei de Kepler para sistemas binários. Precisaremos relacionar as velocidades orbitais, os períodos e as massas das estrelas.
Passo 2
Convertendo Unidades de Tempo
Primeiro, vamos converter o período orbital de dias para segundos, pois as velocidades estão em km/s e é mais conveniente trabalhar com o Sistema Internacional (SI).
Sabemos que:
Então,
Passo 3
Relacionando as Velocidades Orbitais e os Raios das Órbitas
As velocidades orbitais das estrelas estão relacionadas aos raios de suas respectivas órbitas. Sabemos que:
Onde:
-
e são as velocidades orbitais de Alfa e Beta, respectivamente. -
e são os raios das órbitas de Alfa e Beta. -
é o período orbital.
Podemos rearranjar essas equações para encontrar
e
:
Passo 4
Calculando os Raios das Órbitas
Vamos calcular
e
usando as equações acima.
Para Alfa:
Para Beta:
Passo 5
Relacionando as Massas pelo Centro de Massa
No sistema binário, o centro de massa está localizado de tal forma que:
Isso significa que a massa de uma estrela é inversamente proporcional ao raio de sua órbita.
Podemos rearranjar para encontrar uma relação entre
e
:
Passo 6
Aplicando a Lei da Gravitação Universal
A força gravitacional entre as duas estrelas fornece a força centrípeta necessária para suas órbitas. A partir disso, podemos usar a Terceira Lei de Kepler para sistemas binários:
Onde:
-
é a constante gravitacional, .
Vamos rearranjar para encontrar
:
Passo 7
Calculando a Soma das Massas
Primeiro, somamos os raios das órbitas:
Agora, aplicamos na equação da Terceira Lei de Kepler:
Vamos calcular:
Passo 8
Usando a Relação entre as Massas
Lembrando que:
Substituímos na soma das massas:
Então:
E:
Resposta
A massa da estrela Alfa (
) é aproximadamente
e a massa da estrela Beta (
) é aproximadamente
.
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Para que o satélite escape da atração gravitacional da Terra a partir do acionamento de seus propulsores enquanto ele se encontra no perigeu da sua órbita, qual deve ser o aumento de velocidade proporcionado? E se tal acionamento acontecer no apogeu?
Para que o satélite escape da atração gravitacional da Terra a partir do acionamento de seus propulsores enquanto ele se encontra no perigeu da sua órbita, qual deve ser o aumento de velocidade proporcionado? E se tal acionamento acontecer no apogeu?
Um objeto parte da origem em
com velocidade
e se desloca no plano
com aceleração constante
. No instante de tempo em que a coordenada
da partícula for 50 m , determine:
(a) A coordenada do objeto.
(b) O módulo da velocidade do objeto.
(a) A coordenada
(b) O módulo da velocidade do objeto.
Uma partícula parte da origem com velocidade inicial
e uma aceleração constante
. No instante de tempo em que a partícula atingir sua coordenada
máxima determine:
(a) O vetor posição.
(b) O vetor velocidade.
(a) O vetor posição.
(b) O vetor velocidade.