Num sistema estelar binário, duas estrelas, com massas M1 e M2, descrevem uma órbita circular em torno do centro de massa delas. A estrela de massa M1 possui uma órbita com raio R1 e a estrela de massa M2 possui uma órbita com raio R2.
Em um certo sistema binário de órbitas circulares, a primeira estrela (Alfa) possui velocidade orbital igual a 36,0 km / s, enquanto a segunda (Beta) possui velocidade igual a 12,0 km / s e ambas possuem um período orbital de 137 dias. Calcule a massa de cada uma das estrelas.

Passo 1

Entendendo o Problema
Estamos lidando com um sistema estelar binário, onde duas estrelas, Alfa e Beta, orbitam um centro de massa comum em órbitas circulares. As velocidades orbitais são dadas: Alfa tem e Beta tem . Ambas completam uma órbita em dias. Nosso objetivo é calcular as massas de cada estrela, (Alfa) e (Beta).
Para resolver isso, vamos usar a Lei da Gravitação Universal de Newton e a Terceira Lei de Kepler para sistemas binários. Precisaremos relacionar as velocidades orbitais, os períodos e as massas das estrelas.

Passo 2

Convertendo Unidades de Tempo
Primeiro, vamos converter o período orbital de dias para segundos, pois as velocidades estão em km/s e é mais conveniente trabalhar com o Sistema Internacional (SI).
Sabemos que:
1, dia = 86400, segundos
Então,
T = 137, dias times 86400, segundosdia = 11.836.800, segundos

Passo 3

Relacionando as Velocidades Orbitais e os Raios das Órbitas
As velocidades orbitais das estrelas estão relacionadas aos raios de suas respectivas órbitas. Sabemos que:
V1 = 2pi R1T
V2 = 2pi R2T
Onde:
  • R1 = V1 T2pi e R2 = V2 T2pi são as velocidades orbitais de Alfa e Beta, respectivamente.
  • e são os raios das órbitas de Alfa e Beta.
  • é o período orbital.
Podemos rearranjar essas equações para encontrar e :

Passo 4

Calculando os Raios das Órbitas
Vamos calcular R1 = 36.000, m/s times 11.836.800, s2pi approx 4.262.048.000, m6,2832 approx 678.000.000, m e R2 = 12.000, m/s times 11.836.800, s2pi approx 1.420.160.000, m6,2832 approx 226.000.000, m usando as equações acima.
Para Alfa:
Para Beta:

Passo 5

Relacionando as Massas pelo Centro de Massa
No sistema binário, o centro de massa está localizado de tal forma que:
M1 R1 = M2 R2
Isso significa que a massa de uma estrela é inversamente proporcional ao raio de sua órbita.
Podemos rearranjar para encontrar uma relação entre M1 = M2 R2R1 e :

Passo 6

Aplicando a Lei da Gravitação Universal
A força gravitacional entre as duas estrelas fornece a força centrípeta necessária para suas órbitas. A partir disso, podemos usar a Terceira Lei de Kepler para sistemas binários:
T^2 = 4pi^2 (R1 + R2)^3G(M1 + M2)
Onde:
  • M1 + M2 = 4pi^2 (R1 + R2)^3G T^2 é a constante gravitacional, .
Vamos rearranjar para encontrar :

Passo 7

Calculando a Soma das Massas
Primeiro, somamos os raios das órbitas:
R = R1 + R2 = 678.000.000, m + 226.000.000, m = 904.000.000, m
Agora, aplicamos na equação da Terceira Lei de Kepler:
M1 + M2 = 4pi^2 (904.000.000, m)^36,674 times 10^-11, Ncdotm^2/kg^2 times (11.836.800, s)^2
Vamos calcular:
M1 + M2 = 39,478, (7,371 times 10^26, m^3)6,674 times 10^-11 times 1,402 times 10^14, s^2
M1 + M2 approx 2,913 times 10^289,366 times 10^3 approx 3,11 times 10^24, kg

Passo 8

Usando a Relação entre as Massas
Lembrando que:
M1 = M2 R2R1
Substituímos na soma das massas:
M1 + M2 = M2 R2R1 + M2 = M2 (R2R1 + 1)
3,11 times 10^24, kg = M2 (226.000.000678.000.000 + 1) approx M2 (0,333 + 1) = M2 times 1,333
Então:
M2 = 3,11 times 10^24, kg1,333 approx 2,33 times 10^24, kg
E:
M1 = 2,33 times 10^24, kg times 226.000.000, m678.000.000, m approx 7,78 times 10^23, kg

Resposta

A massa da estrela Alfa ( ) é aproximadamente e a massa da estrela Beta ( ) é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Considere que uma partícula de massa m possa ser colocada no interior da Terra. Calcule a força gravitacional a que esta partícula ficaria sujeita quando posicionada a uma distância r do centro do planeta.
Considere um satélite percorrendo uma órbita elíptica em torno da Terra. Em seu ponto inferior (perigeu) ele está a uma altura de 400 km acima da superfície terrestre e em seu ponto superior (apogeu) ele está a 4000 km de altura.
Para que o satélite escape da atração gravitacional da Terra a partir do acionamento de seus propulsores enquanto ele se encontra no perigeu da sua órbita, qual deve ser o aumento de velocidade proporcionado? E se tal acionamento acontecer no apogeu?
Um objeto parte da origem em t=0 com velocidade v0=(8 j) m / s e se desloca no plano x y com aceleração constante a=(4 i+2 j) m / s^2. No instante de tempo em que a coordenada x da partícula for 50 m , determine:
(a) A coordenada y do objeto.
(b) O módulo da velocidade do objeto.
Uma partícula parte da origem com velocidade inicial v0=(3 i) m / s e uma aceleração constante a= (-1 i-5 j) m / s^2. No instante de tempo em que a partícula atingir sua coordenada x máxima determine:
(a) O vetor posição.
(b) O vetor velocidade.