Considere um satélite percorrendo uma órbita elíptica em torno da Terra. Em seu ponto inferior (perigeu) ele está a uma altura de 400 km acima da superfície terrestre e em seu ponto superior (apogeu) ele está a 4000 km de altura.
Para que o satélite escape da atração gravitacional da Terra a partir do acionamento de seus propulsores enquanto ele se encontra no perigeu da sua órbita, qual deve ser o aumento de velocidade proporcionado? E se tal acionamento acontecer no apogeu?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um satélite que está orbitando a Terra em uma trajetória elíptica. No ponto mais próximo da Terra (perigeu), ele está a 400 km da superfície, e no ponto mais distante (apogeu), a 4000 km de altura. O que a gente precisa descobrir é quanto o satélite precisa aumentar sua velocidade no perigeu e no apogeu para escapar da atração gravitacional da Terra. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica orbital e velocidade de escape.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar as distâncias do satélite até o centro da Terra nos pontos de perigeu e apogeu. Para isso, precisamos somar a altura do satélite com o raio da Terra. Sabemos que o raio médio da Terra é aproximadamente km.
Então:
  • Perigeu: km
  • Apogeu: km

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade orbital do satélite nesses pontos. A velocidade orbital em uma órbita elíptica no perigeu e no apogeu pode ser calculada usando a fórmula:
v = raizG M ( 2r - 1a )
Onde:
  • a = rp + ra2 = 6771 + 103712 = 8586 , km é a constante gravitacional ( a = 8586 times 10^3 = 8.586 times 10^6 , m )
  • vp = raiz6.674 times 10^-11 times 5.972 times 10^24 ( 26.771 times 10^6 - 18.586 times 10^6 ) é a massa da Terra ( va = raiz6.674 times 10^-11 times 5.972 times 10^24 ( 210.371 times 10^6 - 18.586 times 10^6 ) )
  • é a distância do centro da Terra no ponto considerado
  • é o semi-eixo maior da órbita elíptica
Primeiro, precisamos encontrar , que é a média das distâncias de perigeu e apogeu:
Convertendo para metros:
Agora, calculamos as velocidades:
  • Velocidade no Perigeu ( ):
Calculando isso, encontramos km/s.
  • Velocidade no Apogeu ( ):
Calculando isso, encontramos km/s.

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade de escape nesses pontos. A velocidade de escape é a velocidade mínima necessária para um objeto escapar da atração gravitacional sem propulsão adicional. A fórmula para a velocidade de escape é:
vesc = raiz2 G Mr
Vamos calcular em ambos os pontos:
  • Velocidade de escape no Perigeu ( vescp = raiz2 times 6.674 times 10^-11 times 5.972 times 10^246.771 times 10^6 approx 11.2 , km/s ):
vesca = raiz2 times 6.674 times 10^-11 times 5.972 times 10^2410.371 times 10^6 approx 10.9 , km/s
  • Velocidade de escape no Apogeu ( ):

Passo 5

Agora que temos as velocidades orbitais e as velocidades de escape nos dois pontos, vamos calcular o aumento de velocidade necessário ( De) para que o satélite possa escapar da Terra.
A diferença entre a velocidade de escape e a velocidade orbital nos dá o De:
  • No Perigeu:
  • No Apogeu:

Resposta

Para que o satélite escape da atração gravitacional da Terra, ele deve aumentar sua velocidade em aproximadamente 3.47 km/s quando acionado no perigeu e em 5.46 km/s quando acionado no apogeu.

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