Considere uma partícula presa em um poço com potencial dado por
mostre que
resolve a equação de Schrödinger desde que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função
resolve a equação de Schrödinger para uma partícula presa em um poço de potencial
. A matéria envolvida aqui é a mecânica quântica, especificamente a equação de Schrödinger para partículas em potenciais confinados. Para resolver, vamos precisar entender a equação de Schrödinger e como aplicar as condições do potencial dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula em uma dimensão:
Aqui,
é a unidade imaginária,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula,
é o potencial, e
é a função de onda.
Passo 3
Vamos substituir a função
na equação de Schrödinger. Primeiro, calculamos a derivada temporal:
Multiplicando por
, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada espacial da função
:
Multiplicando por
:
Passo 5
Considerando o potencial
, que é zero dentro do intervalo
, a equação de Schrödinger fica:
Substituindo as expressões encontradas:
Passo 6
Dividindo ambos os lados por
(que não é zero dentro do poço):
Isso mostra que, para que
resolva a equação de Schrödinger, a energia
deve ser igual a
.
Resposta
A função
resolve a equação de Schrödinger para a partícula no poço de potencial dado quando
.