Considere uma partícula presa em um poço com potencial dado por
V(x)=rll 0, & se & 0 <= x <= a infty, & se & fora do intervalo
mostre que Psi(x, t)=A sin (k x) e^-i E t / hbar resolve a equação de Schrödinger desde que
E=hbar^2 k^22 m

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função resolve a equação de Schrödinger para uma partícula presa em um poço de potencial . A matéria envolvida aqui é a mecânica quântica, especificamente a equação de Schrödinger para partículas em potenciais confinados. Para resolver, vamos precisar entender a equação de Schrödinger e como aplicar as condições do potencial dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula em uma dimensão:
ihbar partial Psipartial t = -hbar^22m partial^2 Psipartial x^2 + V(x)Psi
Aqui, é a unidade imaginária, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, é o potencial, e é a função de onda.

Passo 3

Vamos substituir a função partial Psipartial t = A sin(kx) (-iEhbar) e^-iEt/hbar = -iEhbar Psi na equação de Schrödinger. Primeiro, calculamos a derivada temporal:
ihbar partial Psipartial t = E Psi
Multiplicando por , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada espacial da função partial Psipartial x = A k cos(kx) e^-iEt/hbar :
partial^2 Psipartial x^2 = -A k^2 sin(kx) e^-iEt/hbar = -k^2 Psi
-hbar^22m partial^2 Psipartial x^2 = hbar^2 k^22m Psi
Multiplicando por :

Passo 5

Considerando o potencial ihbar partial Psipartial t = -hbar^22m partial^2 Psipartial x^2 + 0 cdot Psi , que é zero dentro do intervalo E Psi = hbar^2 k^22m Psi , a equação de Schrödinger fica:
Substituindo as expressões encontradas:

Passo 6

Dividindo ambos os lados por E = hbar^2 k^22m (que não é zero dentro do poço):
Isso mostra que, para que resolva a equação de Schrödinger, a energia deve ser igual a .

Resposta

A função resolve a equação de Schrödinger para a partícula no poço de potencial dado quando .

Exercícios relacionados