Considere um pêndulo simples de comprimento L=0.5 m e massa m , que realiza pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio. Essas pequenas oscilações podem ser consideradas um movimento harmônico. O ângulo inicial theta0=0.1 rad e a velocidade angular inicial omega0=0. Calcular: frequência angular omega; o período T ; a velocidade e aceleração angular theta^circ(t) e theta^prime prime(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um pêndulo simples com comprimento e massa , que está balançando com oscilações pequenas, ou seja, um movimento harmônico simples. O objetivo aqui é calcular a frequência angular , o período , a velocidade angular e a aceleração angular . Para resolver isso, vamos usar algumas fórmulas básicas de física que descrevem o movimento de pêndulos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a frequência angular omega = raizgL . Para um pêndulo simples em pequenas oscilações, a frequência angular é dada por:
omega = raiz9,810,5 approx raiz19,62 approx 4,43 , rad/s
Onde:
  • é a aceleração da gravidade ( )
  • é o comprimento do pêndulo
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o período T = 2piomega , que é o tempo que o pêndulo leva para completar uma oscilação completa. A relação entre o período e a frequência angular é:
T = 2pi4,43 approx 6,284,43 approx 1,42 , s
Usando o valor de que calculamos:

Passo 4

Vamos determinar a posição angular theta(t) = theta0 cos(omega t) em função do tempo. Como o movimento é harmônico simples e a velocidade inicial , a equação fica:
Onde:
  • é o ângulo inicial

Passo 5

A velocidade angular theta'(t) = -theta0 omega sin(omega t) é a derivada da posição angular em relação ao tempo. Derivando theta'(t) = -0,1 times 4,43 times sin(4,43 t) approx -0,443 sin(4,43 t) , rad/s :
Substituindo os valores conhecidos:

Passo 6

Por fim, a aceleração angular theta''(t) = -theta0 omega^2 cos(omega t) é a derivada da velocidade angular, ou a segunda derivada da posição angular:
theta''(t) = -0,1 times (4,43)^2 times cos(4,43 t) approx -0,1 times 19,62 times cos(4,43 t) approx -1,962 cos(4,43 t) , rad/s^2
Substituindo os valores:

Resposta

  • Frequência angular
  • Período
  • Velocidade angular
  • Aceleração angular

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