Um iate foi lançado ao mar, levando em consideração a massa própria mais o diesel e as massas dos ocupantes, totalizando uma massa de 50 toneladas. Observe que a área transversal dos iates pode variar entre 5 e 7 m^2. Calcule a profundidade mínima em que deve estar para não afundar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um iate que pesa no total 50 toneladas, incluindo tudo dentro dele. A área transversal varia entre 5 e . Nosso objetivo é achar a profundidade mínima que o iate precisa ter na água para não afundar. Vamos precisar usar o conceito de princípio de Arquimedes, que fala sobre a força de empuxo que mantém os objetos flutuando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o empuxo. Segundo Arquimedes, o empuxo é igual ao peso do fluido que o objeto desloca quando está na água. Para o iate não afundar, o empuxo precisa ser pelo menos igual ao peso total do iate.

Passo 3

Vamos converter a massa do iate para o peso. Sabemos que peso P = m times g é massa P = 50,000 times 9.81 = 490,500 , N vezes a aceleração da gravidade .
Onde:
  • toneladas kg
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o volume de água que o iate precisa deslocar para gerar esse empuxo. Usamos a fórmula do empuxo:
E = rho times V times g
Queremos que 490,500 = rho times V times 9.81 , então:
V = 490,5001000 times 9.81 approx 50 , m^3
Sabendo que a densidade da água é aproximadamente ,
Resolvendo para :

Passo 5

Com o volume necessário, podemos encontrar a profundidade mínima V = A times h que o iate deve ter na água. Sabemos que a área transversal h = VA está entre e .
Usamos a relação:
Então,
Vamos calcular para os dois extremos da área transversal.

Passo 6

Para h = 505 = 10 , m :
h = 507 approx 7.14 , m
Para :

Resposta

A profundidade mínima que o iate deve ter na água para não afundar varia entre aproximadamente 7,14 metros e 10 metros, dependendo da área transversal adotada.

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