Considere o oscilador forçado com amortecimento. Mostre que a frequência de ressonância para absorção de energia cinética é igual à frequência natural do sistema omega0.
Dica: calcule a energia cinética média em um período de oscilação. T=12 m dotx^2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um oscilador forçado com amortecimento e queremos mostrar que a frequência de ressonância para absorção de energia cinética é igual à frequência natural do sistema, representada por . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de oscilações forçadas, amortecimento e energia cinética. A dica nos orienta a calcular a energia cinética média em um período de oscilação, utilizando a fórmula .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação do movimento para um oscilador forçado com amortecimento. A equação diferencial que descreve esse sistema é:
m ddotx + b dotx + k x = F0 cos(omega t)
Onde:
  • omega0 = raizkm é a massa,
  • é o coeficiente de amortecimento,
  • é a constante elástica,
  • é a amplitude da força externa aplicada,
  • é a frequência da força externa,
  • é o deslocamento,
  • é o tempo.
A frequência natural do sistema, , é dada por:

Passo 3

Para resolver a equação do movimento, assumimos uma solução estacionária de forma senoidal:
x(t) = X cos(omega t - phi)
Onde:
  • dotx(t) = -X omega sin(omega t - phi) é a amplitude da oscilação,
  • é a fase.
Derivando em relação ao tempo, obtemos a velocidade:

Passo 4

A energia cinética T = 12 m dotx^2 = 12 m X^2 omega^2 sin^2(omega t - phi) do sistema é dada por:
lang<= T rang<= = 12 m X^2 omega^2 cdot 12 = 14 m X^2 omega^2
Para encontrar a energia cinética média em um período, usamos a média de , que é :

Passo 5

A amplitude X = F0/mraiz(omega0^2 - omega^2)^2 + (2 zeta omega omega0)^2 da oscilação para um sistema forçado com amortecimento é dada por:
lang<= T rang<= = 14 m ( F0/mraiz(omega0^2 - omega^2)^2 + (2 zeta omega omega0)^2 )^2 omega^2
Onde lang<= T rang<= = F0^24 m cdot omega^2(omega0^2 - omega^2)^2 + (2 zeta omega omega0)^2 é o fator de amortecimento.
Substituindo na expressão para :
Simplificando:

Passo 6

Para encontrar a frequência de ressonância para a absorção máxima de energia cinética, precisamos maximizar (omega0^2 - omega^2)^2 + (2 zeta omega omega0)^2 em relação a . Isso significa encontrar o valor de que torna o denominador mínimo.
Observando o denominador:
Para valores pequenos de amortecimento ( pequeno), a mínima ocorre quando .

Passo 7

Assim, quando , o denominador atinge seu valor mínimo, o que maximiza . Portanto, a energia cinética média é máxima quando a frequência da força externa é igual à frequência natural do sistema.

Resposta

A frequência de ressonância para absorção de energia cinética é igual à frequência natural do sistema, ou seja, .

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