Considere o oscilador forçado com amortecimento. Mostre que a frequência de ressonância para absorção de energia cinética é igual à frequência natural do sistema .
Dica: calcule a energia cinética média em um período de oscilação. .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um oscilador forçado com amortecimento e queremos mostrar que a frequência de ressonância para absorção de energia cinética é igual à frequência natural do sistema, representada por . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de oscilações forçadas, amortecimento e energia cinética. A dica nos orienta a calcular a energia cinética média em um período de oscilação, utilizando a fórmula .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação do movimento para um oscilador forçado com amortecimento. A equação diferencial que descreve esse sistema é:
Onde:
é a massa,
é o coeficiente de amortecimento,
é a constante elástica,
é a amplitude da força externa aplicada,
é a frequência da força externa,
é o deslocamento,
é o tempo.
A frequência natural do sistema, , é dada por:
Passo 3
Para resolver a equação do movimento, assumimos uma solução estacionária de forma senoidal:
Onde:
é a amplitude da oscilação,
é a fase.
Derivando em relação ao tempo, obtemos a velocidade:
Passo 4
A energia cinética do sistema é dada por:
Para encontrar a energia cinética média em um período, usamos a média de , que é :
Passo 5
A amplitude da oscilação para um sistema forçado com amortecimento é dada por:
Onde é o fator de amortecimento.
Substituindo na expressão para :
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar a frequência de ressonância para a absorção máxima de energia cinética, precisamos maximizar em relação a . Isso significa encontrar o valor de que torna o denominador mínimo.
Observando o denominador:
Para valores pequenos de amortecimento ( pequeno), a mínima ocorre quando .
Passo 7
Assim, quando , o denominador atinge seu valor mínimo, o que maximiza . Portanto, a energia cinética média é máxima quando a frequência da força externa é igual à frequência natural do sistema.
Resposta
A frequência de ressonância para absorção de energia cinética é igual à frequência natural do sistema, ou seja, .