Considere a placa da base de um ferro de passar de 1200 W , espessura L=0,6 cm, área da base A=160 cm^2 e condutividade térmica k=60 W / m K. a superfície interna da placa está sujeita a um fluxo de calor uniforme gerado pela resistência do ferro. Quando alcança condições de operação permanentes, a temperatura da superfície externa da placa mede 112^circ C. Desconsiderando qualquer perda de calor através da seção superior do ferro:
Expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da placa.
Resp.: d^2 Td x^2=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma placa de ferro de passar com algumas características: potência de 1200 W, espessura , área da base e condutividade térmica . A temperatura na superfície externa da placa é de . Queremos encontrar a equação diferencial que descreve a condução de calor nessa placa sob condições permanentes e expressar as condições de contorno. Para isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor unidimensional e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa condução de calor unidimensional em condições permanentes. Em estado estacionário, a temperatura na placa não muda com o tempo, então a distribuição de temperatura é constante.

Passo 3

A condução de calor unidimensional é descrita pela equação de Fourier:
q = -k dTdx
Onde:
  • é o fluxo de calor,
  • é a condutividade térmica,
  • é o gradiente de temperatura.

Passo 4

Como estamos lidando com condições de estado permanente, a taxa de calor entrando em um ponto da placa deve ser igual à taxa saindo. Isso implica que a segunda derivada da temperatura em relação à posição é zero:
d^2 Tdx^2 = 0
Essa é a nossa equação diferencial para condução de calor unidimensional em estado estacionário.

Passo 5

Agora, vamos definir as condições de contorno. Na superfície interna da placa, o fluxo de calor é gerado pela resistência elétrica. Podemos associar isso à potência fornecida .
A condição na superfície externa é que a temperatura é constante: .

Passo 6

Além disso, sabemos que a espessura da placa é L = 0,6 , cm = 0,006 , m . Convertendo para metros:
-q cdot A = P
Então, nossas condições de contorno são:
  1. No ponto T(L) = 112^circ C (superfície interna), temos um fluxo de calor associado à potência:
  1. No ponto (superfície externa), a temperatura é:

Resposta

A equação diferencial para condução de calor unidimensional permanente é:
d^2 Td x^2 = 0
E as condições de contorno são:
  1. No ponto -q cdot A = 1200 , W :
T(0,006) = 112^circ C
  1. No ponto :

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