Considere a placa da base de um ferro de passar de 1200 W , espessura
, área da base
e condutividade térmica
. a superfície interna da placa está sujeita a um fluxo de calor uniforme gerado pela resistência do ferro. Quando alcança condições de operação permanentes, a temperatura da superfície externa da placa mede
. Desconsiderando qualquer perda de calor através da seção superior do ferro:
Expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da placa.
Resp.:
Expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da placa.
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma placa de ferro de passar com algumas características: potência de 1200 W, espessura
, área da base
e condutividade térmica
. A temperatura na superfície externa da placa é de
. Queremos encontrar a equação diferencial que descreve a condução de calor nessa placa sob condições permanentes e expressar as condições de contorno. Para isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor unidimensional e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa condução de calor unidimensional em condições permanentes. Em estado estacionário, a temperatura na placa não muda com o tempo, então a distribuição de temperatura é constante.
Passo 3
A condução de calor unidimensional é descrita pela equação de Fourier:
Onde:
-
é o fluxo de calor, -
é a condutividade térmica, -
é o gradiente de temperatura.
Passo 4
Como estamos lidando com condições de estado permanente, a taxa de calor entrando em um ponto da placa deve ser igual à taxa saindo. Isso implica que a segunda derivada da temperatura em relação à posição é zero:
Essa é a nossa equação diferencial para condução de calor unidimensional em estado estacionário.
Passo 5
Agora, vamos definir as condições de contorno. Na superfície interna da placa, o fluxo de calor é gerado pela resistência elétrica. Podemos associar isso à potência fornecida
.
A condição na superfície externa é que a temperatura é constante:
.
Passo 6
Além disso, sabemos que a espessura da placa é
. Convertendo para metros:
Então, nossas condições de contorno são:
- No ponto
(superfície interna), temos um fluxo de calor associado à potência:
- No ponto
(superfície externa), a temperatura é:
Resposta
A equação diferencial para condução de calor unidimensional permanente é:
E as condições de contorno são:
- No ponto
:
- No ponto
: