Uma placa de alumínio, com 4 mm de espessura, encontra-se na posição horizontal e a sua superfície inferior está isolada termicamente. Um fino revestimento especial é aplicado sobre sua superfície superior de tal forma que ela absorva de qualquer radiação solar nela incidente, enquanto tem uma emissividade de 0,25 . A densidade e o calor específico do alumínio são conhecidos, sendo iguais a e , respectivamente.
(a) Considere condições nas quais a placa está à temperatura de e a sua superfície superior é subitamente exposta ao ar ambiente a à radiação solar que fornece um fluxo incidente de . O coeficiente de transferência de calor por convecção entre a superfície e o ar é de . Qual é a taxa inicial da variação da temperatura da placa?
(b) Qual será a temperatura de equilíbrio da placa quando as condições de regime estacionário forem atingidas?
© As propriedades radiantes da superfície dependem da natureza específica do revestimento aplicado. Calcule e represente graficamente a temperatura no regime estacionário como uma função da emissividade para , com todas as outras condições mantidas como especificado. Repita os seus cálculos para valores de e 1,0 ; e coloque os resultados no gráfico juntamente com os para 0,8. Se a intenção é de maximizar a temperatura da placa, qual é a combinação mais desejável da emissividade e da absortividade para a radiação solar da placa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma placa de alumínio de 4 mm de espessura que está na horizontal. A parte de baixo está isolada termicamente, então não troca calor com o ambiente por lá. A parte de cima foi revestida com um material que absorve 80% da radiação solar que incide sobre ela e tem uma emissividade de 0,25. Sabemos também a densidade e o calor específico do alumínio. Vamos usar conceitos de transferência de calor por convecção e radiação para resolver as três partes do exercício: a taxa inicial de variação de temperatura, a temperatura de equilíbrio e como essa temperatura varia com a emissividade.

Passo 2

Vamos resolver a parte (a). Queremos encontrar a taxa inicial de variação da temperatura da placa quando ela é subitamente exposta ao ar e à radiação solar.
Primeiro, vamos identificar as fontes de calor:
  1. Radiação Solar Absorvida: A placa absorve 80% da radiação solar incidente. Com um fluxo de , a potência absorvida por metro quadrado é .
  2. Perda por Convecção: O calor é perdido para o ar ambiente pela convecção. A taxa de perda por convecção é dada por , onde , é a temperatura da placa e .
  3. Perda por Radiação: A placa também perde calor por radiação. A taxa de perda por radiação é , onde . Mas, como a mudança de temperatura inicialmente é pequena, podemos linearizar a expressão para facilitar os cálculos.
Agora, montamos a equação de balanço de energia:
Como queremos encontrar a taxa de variação de temperatura , rearranjamos a equação:
A energia armazenada na placa é dada por:
Então:
Igualando as expressões:
Vamos calcular cada termo.

Passo 3

Primeiro, calculamos a massa da placa. Sabemos que o alumínio tem densidade e a espessura . Supondo uma área , a massa é:
Agora, vamos calcular :
Para :
Inicialmente, , então:
Para , vamos linearizar a expressão. A emissividade é baixa ( ), e a diferença de temperatura não é muito grande, então podemos usar a aproximação de:
Convertendo temperaturas para Kelvin:
Calculando :
Primeiro, calculamos :
Então:
Calculando passo a passo:
Então:

Passo 4

Agora, substituímos os valores na equação do balanço de energia:
Agora, resolvemos para :
Como a área não foi especificada, a taxa de variação de temperatura por metro quadrado é aproximadamente .

Resposta

A taxa inicial de variação da temperatura da placa é de aproximadamente por metro quadrado.

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Velocidade do ar, 1 2 4 8 12
Potência, 450 658 983 1507 1963
(a) Determine o coeficiente de transferência de calor por convecção para cada velocidade e apresente graficamente os seus resultados.
(b) Supondo que o coeficiente convectivo dependa da velocidade de escoamento do ar de acordo com uma relação do tipo , determine os parâmetros e a partir dos resultados da parte (a).
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Expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da placa.
Resp.:
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a) A taxa de perda de calor através do telhado naquela noite.
b) O custo dessa perda de calor para o proprietário durante 1 mês, considerando que o custo da eletricidade é de .