Uma placa de alumínio, com 4 mm de espessura, encontra-se na posição horizontal e a sua superfície inferior está isolada termicamente. Um fino revestimento especial é aplicado sobre sua superfície superior de tal forma que ela absorva 80 % de qualquer radiação solar nela incidente, enquanto tem uma emissividade de 0,25 . A densidade rho e o calor específico c do alumínio são conhecidos, sendo iguais a 2700 kg / m^3 e 900 J /(kg cdot K), respectivamente.
(a) Considere condições nas quais a placa está à temperatura de 25^circ C e a sua superfície superior é subitamente exposta ao ar ambiente a Tinfty=20^circ Ce à radiação solar que fornece um fluxo incidente de 900 W / m^2. O coeficiente de transferência de calor por convecção entre a superfície e o ar é de h=20 W /(m^2 cdot K). Qual é a taxa inicial da variação da temperatura da placa?
(b) Qual será a temperatura de equilíbrio da placa quando as condições de regime estacionário forem atingidas?
© As propriedades radiantes da superfície dependem da natureza específica do revestimento aplicado. Calcule e represente graficamente a temperatura no regime estacionário como uma função da emissividade para 0,05 <= varepsilon <= 1, com todas as outras condições mantidas como especificado. Repita os seus cálculos para valores de alphaS=0,5 e 1,0 ; e coloque os resultados no gráfico juntamente com os para alphas= 0,8. Se a intenção é de maximizar a temperatura da placa, qual é a combinação mais desejável da emissividade e da absortividade para a radiação solar da placa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma placa de alumínio de 4 mm de espessura que está na horizontal. A parte de baixo está isolada termicamente, então não troca calor com o ambiente por lá. A parte de cima foi revestida com um material que absorve 80% da radiação solar que incide sobre ela e tem uma emissividade de 0,25. Sabemos também a densidade e o calor específico do alumínio. Vamos usar conceitos de transferência de calor por convecção e radiação para resolver as três partes do exercício: a taxa inicial de variação de temperatura, a temperatura de equilíbrio e como essa temperatura varia com a emissividade.

Passo 2

Vamos resolver a parte (a). Queremos encontrar a taxa inicial de variação da temperatura da placa quando ela é subitamente exposta ao ar e à radiação solar.
Primeiro, vamos identificar as fontes de calor:
  1. Radiação Solar Absorvida: A placa absorve 80% da radiação solar incidente. Com um fluxo de Qabsorvida = Qconv + Qrad + dQdt , a potência absorvida por metro quadrado é dQdt = Qabsorvida - Qconv - Qrad .
  2. Perda por Convecção: O calor é perdido para o ar ambiente pela convecção. A taxa de perda por convecção é dada por Q = m cdot c cdot T , onde dQdt = m cdot c cdot dTdt , m cdot c cdot dTdt = Qabsorvida - Qconv - Qrad é a temperatura da placa e .
  3. Perda por Radiação: A placa também perde calor por radiação. A taxa de perda por radiação é , onde . Mas, como a mudança de temperatura inicialmente é pequena, podemos linearizar a expressão para facilitar os cálculos.
Agora, montamos a equação de balanço de energia:
Como queremos encontrar a taxa de variação de temperatura , rearranjamos a equação:
A energia armazenada na placa é dada por:
Então:
Igualando as expressões:
Vamos calcular cada termo.

Passo 3

Primeiro, calculamos a massa da placa. Sabemos que o alumínio tem densidade m = rho cdot A cdot d = 2700 cdot A cdot 0,004 = 10,8 cdot A , kg e a espessura Qabsorvida = 0,8 times 900 = 720 , W/m^2 . Supondo uma área Qconv = 20 cdot (T - 20) , a massa Qconv = 20 cdot (25 - 20) = 20 times 5 = 100 , W/m^2 é:
Qrad approx varepsilon cdot sigma cdot 4 T^3 (T - Tinfty)
Agora, vamos calcular T = 25 + 273,15 = 298,15 , K :
Tinfty = 20 + 273,15 = 293,15 , K
Para Qrad approx 0,25 times 5,67 times 10^-8 times 4 times (298,15)^3 times (298,15 - 293,15) :
(298,15)^3 approx 2,655 times 10^7 , K^3
Inicialmente, Qrad approx 0,25 times 5,67 times 10^-8 times 4 times 2,655 times 10^7 times 5 , então:
Qrad approx 0,25 times 5,67 times 10^-8 times 4 times 2,655 times 10^7 times 5
Para Qrad approx 0,25 times 5,67 times 10^-8 times 4 times 2,655 times 10^7 times 5 , vamos linearizar a expressão. A emissividade é baixa ( Qrad approx 0,25 times 5,67 times 10^-8 times 4 times 2,655 times 10^7 times 5 approx 0,25 times 5,67 times 10^-8 times 4 times 2,655 times 10^7 times 5 ), e a diferença de temperatura não é muito grande, então podemos usar a aproximação de:
5,67 times 10^-8 times 4 = 2,268 times 10^-7
Convertendo temperaturas para Kelvin:
2,268 times 10^-7 times 2,655 times 10^7 = 6,025
6,025 times 5 = 30,125
Calculando 0,25 times 30,125 = 7,531 , W/m^2 :
Qrad approx 7,53 , W/m^2
Primeiro, calculamos :
Então:
Calculando passo a passo:
Então:

Passo 4

Agora, substituímos os valores na equação do balanço de energia:
m cdot c cdot dTdt = Qabsorvida - Qconv - Qrad
10,8 cdot A cdot 900 cdot dTdt = 720 - 100 - 7,53
10.8 cdot A cdot 900 cdot dTdt = 612,47
Agora, resolvemos para dTdt = 612,4710,8 cdot 900 cdot A :
dTdt = 612,479720 cdot A
dTdt approx 0,063 , K/sA
Como a área não foi especificada, a taxa de variação de temperatura por metro quadrado é aproximadamente .

Resposta

A taxa inicial de variação da temperatura da placa é de aproximadamente por metro quadrado.

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