Ar a 40^circ C escoa sobre um longo cilindro, com 25 mm de diâmetro, que possui um aquecedor elétrico no seu interior. Durante uma bateria de testes, foram efetuadas medidas da potência por unidade de comprimento, P^prime, necessária para manter a temperatura da superfície do cilindro em 300^circ C para diferentes velocidades V da corrente de ar, medidas em uma determinada posição afastada da superfície. Os resultados obtidos são os seguintes:
Velocidade do ar, V(m / s) 1 2 4 8 12
Potência, P^prime(W / m) 450 658 983 1507 1963
(a) Determine o coeficiente de transferência de calor por convecção para cada velocidade e apresente graficamente os seus resultados.
(b) Supondo que o coeficiente convectivo dependa da velocidade de escoamento do ar de acordo com uma relação do tipo h=C V^n, determine os parâmetros C e n a partir dos resultados da parte (a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como o ar, a uma temperatura de , passa por um cilindro longo com diâmetro de 25 mm que tem um aquecedor elétrico dentro. A gente quer descobrir como o calor é transferido desse cilindro para o ar quando a velocidade do ar varia. Para isso, vamos calcular o coeficiente de transferência de calor por convecção para diferentes velocidades do ar usando os dados de potência fornecidos. Vamos precisar entender as fórmulas de transferência de calor por convecção e aplicar nos dados que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da transferência de calor por convecção:
P' = h cdot A cdot De
Onde:
  • é a potência por unidade de comprimento ( ).
  • é o coeficiente de transferência de calor por convecção ( ).
  • é a área de transferência de calor por unidade de comprimento.
  • é a diferença de temperatura entre a superfície do cilindro e o ar.

Passo 3

Vamos calcular a área A = pi cdot d por unidade de comprimento do cilindro. Como o cilindro é circular, a área por metro de comprimento é a circunferência:
A = pi cdot 0,025 approx 0,0785 , m^2/m
Onde é o diâmetro do cilindro. Dado que :

Passo 4

A diferença de temperatura De é entre a superfície do cilindro e o ar:

Passo 5

Agora, rearranjamos a fórmula da transferência de calor para encontrar o coeficiente h = P'A cdot De:
Vamos calcular para cada velocidade do ar usando os valores de fornecidos.

Passo 6

Calculando h = 4500,0785 cdot 260 approx 45020,41 approx 22,06 , W/(m^2 cdot K) para cada velocidade:
Para h = 6580,0785 cdot 260 approx 65820,41 approx 32,23 , W/(m^2 cdot K) :
h = 9830,0785 cdot 260 approx 98320,41 approx 48,15 , W/(m^2 cdot K)
Para h = 15070,0785 cdot 260 approx 150720,41 approx 73,82 , W/(m^2 cdot K) :
h = 19630,0785 cdot 260 approx 196320,41 approx 96,07 , W/(m^2 cdot K)
Para :
Para :
Para :

Passo 7

Agora, vamos organizar os valores de calculados:
Velocidade do ar, (m/s) Coeficiente (W/(m²·K))
1 22,06
2 32,23
4 48,15
8 73,82
12 96,07

Passo 8

Agora que já calculamos os coeficientes de transferência de calor para cada velocidade do ar, vamos supor que o coeficiente depende da velocidade de uma forma que , onde e são constantes que precisamos encontrar. Para isso, vamos usar os valores de e que calculamos na parte (a).

Passo 9

A relação é:
h = C cdot V^n
Para encontrar ln(h) = ln(C) + n cdot ln(V) e , podemos transformar essa equação usando logaritmos:
Assim, podemos usar métodos de ajuste linear, onde é a variável dependente e é a independente. Vamos calcular os logaritmos dos valores de e .

Passo 10

Calculando os logaritmos naturais:
(m/s) (W/(m²·K))
1 22,06 0 3,091
2 32,23 0,693 3,474
4 48,15 1,386 3,871
8 73,82 2,079 4,302
12 96,07 2,485 4,566

Passo 11

Agora, vamos fazer um ajuste linear dos pontos . A equação da reta será , onde:
Vamos calcular os coeficientes e usando a fórmula de regressão linear.

Passo 12

Calculando os coeficientes de regressão:
Primeiro, calculamos as somas necessárias:
sum x = 0 + 0,693 + 1,386 + 2,079 + 2,485 = 6,643
sum y = 3,091 + 3,474 + 3,871 + 4,302 + 4,566 = 19,304
sum xy = (0)(3,091) + (0,693)(3,474) + (1,386)(3,871) + (2,079)(4,302) + (2,485)(4,566) approx 0 + 2,403 + 5,356 + 8,958 + 11,343 approx 27,060
sum x^2 = 0^2 + 0,693^2 + 1,386^2 + 2,079^2 + 2,485^2 approx 0 + 0,480 + 1,923 + 4,324 + 6,175 approx 12,902
Número de pontos b = n sum xy - sum x sum yn sum x^2 - (sum x)^2 = 5 cdot 27,060 - 6,643 cdot 19,3045 cdot 12,902 - (6,643)^2 approx 135,3 - 128,064,51 - 44,11 approx 7,320,4 approx 0,358 .
Agora, aplicamos as fórmulas:
a = sum y - b sum xn = 19,304 - 0,358 cdot 6,6435 approx 19,304 - 2,3775 approx 16,9275 approx 3,385

Passo 13

Agora temos:
ln(C) = a = 3,385 implies C = e^3,385 approx 29,67
n = 0,358

Resposta

Os parâmetros são aproximadamente:
C approx 29,67 , W/(m^2 cdot K cdot (m/s)^n)
n approx 0,358
Ou seja, a relação entre o coeficiente convectivo e a velocidade do ar é:
h approx 29,67 cdot V^0,358

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