Ar a
escoa sobre um longo cilindro, com 25 mm de diâmetro, que possui um aquecedor elétrico no seu interior. Durante uma bateria de testes, foram efetuadas medidas da potência por unidade de comprimento,
, necessária para manter a temperatura da superfície do cilindro em
para diferentes velocidades
da corrente de ar, medidas em uma determinada posição afastada da superfície. Os resultados obtidos são os seguintes:
Velocidade do ar,
|
1 | 2 | 4 | 8 | 12 |
---|---|---|---|---|---|
Potência,
|
450 | 658 | 983 | 1507 | 1963 |
(a) Determine o coeficiente de transferência de calor por convecção para cada velocidade e apresente graficamente os seus resultados.
(b) Supondo que o coeficiente convectivo dependa da velocidade de escoamento do ar de acordo com uma relação do tipo , determine os parâmetros
e
a partir dos resultados da parte (a).
(b) Supondo que o coeficiente convectivo dependa da velocidade de escoamento do ar de acordo com uma relação do tipo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como o ar, a uma temperatura de
, passa por um cilindro longo com diâmetro de 25 mm que tem um aquecedor elétrico dentro. A gente quer descobrir como o calor é transferido desse cilindro para o ar quando a velocidade do ar varia. Para isso, vamos calcular o coeficiente de transferência de calor por convecção para diferentes velocidades do ar usando os dados de potência fornecidos. Vamos precisar entender as fórmulas de transferência de calor por convecção e aplicar nos dados que temos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da transferência de calor por convecção:
Onde:
-
é a potência por unidade de comprimento ( ). -
é o coeficiente de transferência de calor por convecção ( ). -
é a área de transferência de calor por unidade de comprimento. -
é a diferença de temperatura entre a superfície do cilindro e o ar.
Passo 3
Vamos calcular a área
por unidade de comprimento do cilindro. Como o cilindro é circular, a área por metro de comprimento é a circunferência:
Onde
é o diâmetro do cilindro. Dado que
:
Passo 4
A diferença de temperatura
é entre a superfície do cilindro e o ar:
Passo 5
Agora, rearranjamos a fórmula da transferência de calor para encontrar o coeficiente
:
Vamos calcular
para cada velocidade do ar usando os valores de
fornecidos.
Passo 6
Calculando
para cada velocidade:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, vamos organizar os valores de
calculados:
Velocidade do ar,
|
Coeficiente
|
---|---|
1 | 22,06 |
2 | 32,23 |
4 | 48,15 |
8 | 73,82 |
12 | 96,07 |
Passo 8
Agora que já calculamos os coeficientes de transferência de calor para cada velocidade do ar, vamos supor que o coeficiente
depende da velocidade
de uma forma que
, onde
e
são constantes que precisamos encontrar. Para isso, vamos usar os valores de
e
que calculamos na parte (a).
Passo 9
A relação é:
Para encontrar
e
, podemos transformar essa equação usando logaritmos:
Assim, podemos usar métodos de ajuste linear, onde
é a variável dependente e
é a independente. Vamos calcular os logaritmos dos valores de
e
.
Passo 10
Calculando os logaritmos naturais:
|
|
|
|
---|---|---|---|
1 | 22,06 | 0 | 3,091 |
2 | 32,23 | 0,693 | 3,474 |
4 | 48,15 | 1,386 | 3,871 |
8 | 73,82 | 2,079 | 4,302 |
12 | 96,07 | 2,485 | 4,566 |
Passo 11
Agora, vamos fazer um ajuste linear dos pontos
. A equação da reta será
, onde:
Vamos calcular os coeficientes
e
usando a fórmula de regressão linear.
Passo 12
Calculando os coeficientes de regressão:
Primeiro, calculamos as somas necessárias:
Número de pontos
.
Agora, aplicamos as fórmulas:
Passo 13
Agora temos:
Resposta
Os parâmetros são aproximadamente:
Ou seja, a relação entre o coeficiente convectivo e a velocidade do ar é: