Considere a placa da base de um ferro de passar de 1200 W , espessura L=0,6 cm, área da base A=160 cm^2 e condutividade térmica k=60 W / m K. a superfície interna da placa está sujeita a um fluxo de calor uniforme gerado pela resistência do ferro. Quando alcança condições de operação permanentes, a temperatura da superfície externa da placa mede 112^circ C. Desconsiderando qualquer perda de calor através da seção superior do ferro:
a) Expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da placa.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma placa de ferro de passar com algumas características como potência, espessura, área e condutividade térmica. Queremos entender como o calor está se movendo de um lado da placa para o outro quando o ferro está funcionando em condições permanentes. Para isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor e equações diferenciais que descrevem esse processo.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como a condução de calor funciona em uma situação de estado estacionário (ou permanente) e unidimensional. Isso significa que a temperatura na placa não muda com o tempo e o calor está se movendo apenas em uma direção (perpendicular à base da placa).
A equação geral para condução de calor em estado estacionário é dada por:
ddx(k dTdx) = 0
Onde:
  • d^2 Tdx^2 = 0 é a condutividade térmica,
  • é a temperatura,
  • é a posição ao longo da direção da condução.
Como a condutividade térmica é constante, a equação simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos definir as condições de contorno para a nossa placa de ferro.
  1. Na superfície interna da placa ( q = PA ): Aqui ocorre a geração de calor pela resistência do ferro. O fluxo de calor ( -k dTdxg|x=0 = PA ) é uniforme e pode ser relacionado à potência total ( T(L) = 112^circ C ) e à área da base ( ) pela fórmula:
    A condição de contorno fica então:
    O sinal negativo indica que o calor está fluindo para fora da superfície.
  2. Na superfície externa da placa ( ): A temperatura é conhecida e igual a . Então, a condição de contorno é:

Resposta

A equação diferencial e as condições de contorno para a condução de calor unidimensional permanente através da placa são:
d^2 Tdx^2 = 0
com as condições de contorno:
- k dTdxg|x=0 = PA
e
T(L) = 112^circ C

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