Considere a placa da base de um ferro de passar de 1200 W , espessura , área da base e condutividade térmica . a superfície interna da placa está sujeita a um fluxo de calor uniforme gerado pela resistência do ferro. Quando alcança condições de operação permanentes, a temperatura da superfície externa da placa mede . Desconsiderando qualquer perda de calor através da seção superior do ferro:
a) Expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da placa.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma placa de ferro de passar com algumas características como potência, espessura, área e condutividade térmica. Queremos entender como o calor está se movendo de um lado da placa para o outro quando o ferro está funcionando em condições permanentes. Para isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor e equações diferenciais que descrevem esse processo.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como a condução de calor funciona em uma situação de estado estacionário (ou permanente) e unidimensional. Isso significa que a temperatura na placa não muda com o tempo e o calor está se movendo apenas em uma direção (perpendicular à base da placa).
A equação geral para condução de calor em estado estacionário é dada por:
Onde:
é a condutividade térmica,
é a temperatura,
é a posição ao longo da direção da condução.
Como a condutividade térmica é constante, a equação simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos definir as condições de contorno para a nossa placa de ferro.
Na superfície interna da placa (): Aqui ocorre a geração de calor pela resistência do ferro. O fluxo de calor () é uniforme e pode ser relacionado à potência total () e à área da base () pela fórmula:
A condição de contorno fica então:
O sinal negativo indica que o calor está fluindo para fora da superfície.
Na superfície externa da placa (): A temperatura é conhecida e igual a . Então, a condição de contorno é:
Resposta
A equação diferencial e as condições de contorno para a condução de calor unidimensional permanente através da placa são: